偏心双極子：テイラー展開の方法
テイラー展開による偏心双極子の導出は James & Winch (1967) により提出されました．地心双極子 \({\bf M}\) のポテンシャルは次式で表されます． \begin{equation} W = -\frac{\mu_0}{4\pi}{\bf M}\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right). \label{eq01} \end{equation} この双極子が地球中心からベクトル \(\boldsymbol{\delta}\) ずれると，ずれた（偏心）双極子のポテンシャルは次のようにテイラー展開で表現できます． \begin{equation} W_C = W - \boldsymbol{\delta}\cdot\nabla W + \frac{\boldsymbol{\delta}}{2!}\cdot\nabla(\boldsymbol{\delta}\cdot\nabla W) - \cdots. \label{eq02} \end{equation} James & Winch (1967) はテイラー展開 \eqref{eq02} を解析するために高度な方法を採用していますが，ここでは原始的な手順を説明します．
位置ベクトル \({\bf r}\) とずれのベクトル \(\boldsymbol{\delta}\) を直交座標系で次式で与えます． \begin{eqnarray*} {\bf r} & = & (x, y, z) = (r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta), \\ \boldsymbol{\delta} & = & (x_c, y_c, z_c). \end{eqnarray*} \eqref{eq01} のポテンシャル \(W\) は次式で与えられます． \[ W = \frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{M_x x}{r^3} + \frac{M_y y}{r^3} +\frac{M_z z}{r^3}\right), \] すると，テイラー展開の１次の項は以下のようになります． \begin{eqnarray*} -\boldsymbol{\delta}\cdot\nabla W & = & -(x_c, y_c, z_c)\cdot \\ & & \frac{\mu_0}{4\pi}\left(-\frac{3M_x x^2}{r^5} + \frac{M_x}{r^3} - \frac{3M_y xy}{r^5} - \frac{3M_z xz}{r^5},\right. \\ & & -\frac{3M_x xy}{r^5} - \frac{3M_y y^2}{r^5} + \frac{M_y}{r^3} - \frac{3M_z yz}{r^5}, \\ & & \left.-\frac{3M_x xz}{r^5} - \frac{3M_y yz}{r^5} - \frac{3M_z z^2}{r^5} + \frac{M_z}{r^3}\right), \\ & = & \frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{M_x x_c(3x^2-r^2)}{r^5} + \frac{3M_y x_c xy}{r^5} + \frac{3M_z x_c xz}{r^5}\right. \\ & & + \frac{3M_x y_c xy}{r^5} + \frac{M_y y_c(3y^2-r^2)}{r^5} + \frac{3M_z y_c yz}{r^5} \\ & & \left. + \frac{3M_x z_c xz}{r^5} + \frac{3M_y z_c yz}{r^5} + \frac{M_z z_c(3z^2-r^2)}{r^5}\right), \\ & = & \frac{\mu_0}{4\pi r^3}\left(M_x x_c(3\sin^2\theta\cos^2\phi-1) + 3M_y x_c\sin^2\theta\cos\phi\sin\phi\right. \\ & & + 3M_z x_c\sin\theta\cos\theta\cos\phi + 3M_x y_c\sin^2\theta\cos\phi\sin\phi \\ & & + M_y y_c(3\sin^2\theta\sin^2\phi-1) + 3M_z y_c\sin\theta\cos\theta\sin\phi \\ & & + 3M_x z_c\sin\theta\cos\theta\cos\phi + 3M_y z_c\sin\theta\cos\theta\sin\phi \\ & & + \left.M_z z_c(3\cos^2\theta-1)\right). \end{eqnarray*} この式を以下の公式を使用してさらに変形します． \[ P_2^0(\cos\theta) = (1/2)(3\cos^2\theta - 1), \quad P_2^1(\cos\theta) = \sqrt{3}\cos\theta\sin\theta, \\ P_2^2(\cos\theta) = (\sqrt{3}/2)\sin^2\theta, \quad \sqrt{3}P_2^2(\cos\theta) - 1 = -P_2^0(\cos\theta), \\ \cos^2\phi = (1+\cos 2\phi)/2, \quad \sin^2\phi = (1-\cos 2\phi)/2, \quad \cos\phi\sin\phi = \sin 2\phi/2. \] これらの公式を使用し，簡単のために \(P_n^m(\cos\theta)\) を \(P_n^m\) と略記すると次の式を得ます． \begin{eqnarray*} -\boldsymbol{\delta}\cdot\nabla W & = & \frac{\mu_0}{4\pi r^3}\left((2M_z z_c - M_x x_c - M_y y_c)P_2^0\right. \\ & & + \sqrt{3}(M_z x_c + M_x z_c)P_2^1\cos\phi + \sqrt{3}(M_z y_c + M_y z_c)P_2^1\sin\phi \\ & & + \left.\sqrt{3}(M_x x_c - M_y y_c)P_2^2\cos 2\phi + \sqrt{3}(M_y x_c + M_x y_c)P_2^2\sin 2\phi\right). \end{eqnarray*} この式を地磁気の球関数表示（前ページの式 (1)）における \(n\)=2 の項； \[ W_2 = a\left(\frac{a}{r}\right)^3\left(g_2^0 P_2^0 + g_2^1 P_2^1\cos\phi + h_2^1 P_2^1\sin\phi + g_2^2 P_2^2\cos 2\phi + h_2^2 P_2^2\sin 2\phi\right). \] と比較して，双極子 \({\bf M}\) が地球中心から \(\boldsymbol{\delta}\) ずれると，次の \(n\)=2 のガウス係数が現れることが分かります． \begin{eqnarray} g_2^0 & = & \frac{\mu_0}{4\pi a^4}(2M_z z_c - M_x x_c - M_y y_c) = \frac{1}{a}(2g_1^0 z_c - g_1^1 x_c - h_1^1 y_c), \nonumber \\ g_2^1 & = & \frac{\mu_0}{4\pi a^4}\sqrt{3}(M_z x_c + M_x z_c) = \frac{\sqrt{3}}{a}(g_1^0 x_c + g_1^1 z_c), \nonumber \\ h_2^1 & = & \frac{\mu_0}{4\pi a^4}\sqrt{3}(M_z y_c + M_y z_c) = \frac{\sqrt{3}}{a}(g_1^0 y_c + h_1^1 z_c), \label{eq03} \\ g_2^2 & = & \frac{\mu_0}{4\pi a^4}\sqrt{3}(M_x x_c - M_y y_c) = \frac{\sqrt{3}}{a}(g_1^1 x_c - h_1^1 y_c), \nonumber \\ h_2^2 & = & \frac{\mu_0}{4\pi a^4}\sqrt{3}(M_y x_c + M_x y_c) = \frac{\sqrt{3}}{a}(h_1^1 x_c + g_1^1 y_c). \nonumber \\ \end{eqnarray}
観測されたガウス係数から式 \eqref{eq03} を使用して，偏心双極子の位置 \(\boldsymbol{\delta}\) を求めることは意義があります． \eqref{eq03} では未知数より方程式の数が多く， \((x_c,y_c,z_c)\) を解くには最小二乗法を用いる必要があります．最小二乗法による解は 1930 年代に Adolf Schmidt により初めて提出されました（→ 詳細はここです）． Schmidt の公式を使用して， 2015 年における双極子のずれは km の単位で以下の通りです． \[ \delta = 576.7, \quad x_c = -399.9, \quad y_c = 351.7, \quad z_c = 221.3. \] ずれの大きさは地球半径の約 9% に達します．
テイラー展開 \eqref{eq02} における２次の項により \(n\)=3 のガウス係数が現れます．それらは，同様にして \((1/2!)\boldsymbol{\delta}\cdot\nabla(\boldsymbol{\delta}\cdot\nabla W)\) を計算することで得ることができます．しかし，式の変形には労力が必要で，ここでは結果だけを以下に列挙します． \begin{eqnarray*} g_3^0 & = & \frac{3}{2a^2}\left(g_1^0(2z_c^2 - x_c^2 - y_c^2) - 2g_1^1 x_c z_c - 2h_1^1 y_c z_c\right), \\ g_3^1 & = & \frac{3}{2\sqrt{6}a^2}\left(8g_1^0 x_c z_c + g_1^1(4z_c^2 - 3x_c^2 - y_c^2) - 2h_1^1 x_c y_c\right), \\ h_3^1 & = & \frac{3}{2\sqrt{6}a^2}\left(8g_1^0 y_c z_c - 2g_1^1 x_c y_c + h_1^1(4z_c^2 - x_c^2 - 3y_c^2)\right), \\ g_3^2 & = & \frac{15}{2\sqrt{15}a^2}\left(g_1^0(x_c^2 - y_c^2) + 2g_1^1 x_c z_c - 2h_1^1 y_c z_c\right), \\ h_3^2 & = & \frac{15}{\sqrt{15}a^2}\left(g_1^0 x_c y_c + g_1^1 y_c z_c + h_1^1 z_c x_c\right), \\ g_3^3 & = & \frac{15}{2\sqrt{10}a^2}\left(g_1^1(x_c^2 - y_c^2) - 2h_1^1 x_c y_c\right), \\ h_3^3 & = & \frac{15}{2\sqrt{10}a^2}\left(2g_1^1 x_c y_c + h_1^1(x_c^2 - y_c^2)\right). \end{eqnarray*}
参考文献:
- James, R. W., & D. E. Winch, The eccentric dipole, Pure Applied Geophys., 66, 77-86, 1967.