直線近似 y=a+bx: yだけが誤差を含む（xは誤差を含まない）
\(a\) と \(b\) は次の \(t\) を最小にすることで決まります． \[ t = \sum_{i=1}^n (y_i - a - bx_i)^2. \] \(\partial t/\partial a = \partial t/\partial b = 0\) より，方程式 \begin{eqnarray*} n a + S_x b & = & S_y, \\ S_x a + S_{xx} b & = & S_{xy}, \end{eqnarray*} を得ます． 但し， \(S_x = \sum_{i=1}^n x_i\)， \(S_y = \sum_{i=1}^n y_i\)， \(S_{xx} = \sum_{i=1}^n x_i^2\)， \(S_{xy} = \sum_{i=1}^n x_i y_i\) です． この方程式を解くと， \begin{eqnarray} a & = & \frac{S_{xx} S_y - S_x S_{xy}}{\Delta}, \label{eq01} \\ b & = & \frac{n S_{xy} - S_x S_y}{\Delta}. \label{eq02} \end{eqnarray} を得ます．但し， \(\Delta = n S_{xx} - S_x^2\) です．相関係数 \(r\) は次式で定義されます． \[ r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)} {\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2}}. \] ここに， \(\bar x = S_x/n\)， \(\bar y = S_y/n\) です． \eqref{eq02} を使うと \(r\) は \begin{equation} r = b \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \label{eq03} \end{equation} となります．但し， \(\sigma_x = \sqrt{(S_{xx} - S_x^2/n)/(n-1)}\)， \(\sigma_y = \sqrt{(S_{yy} - S_y^2/n)/(n-1)}\) です．誤差伝播の法則により， \[ \sigma_a^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left(\frac{\partial a}{\partial y_i}\right)^2, \quad \sigma_b^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left(\frac{\partial b}{\partial y_i}\right)^2, \] ここに \(\sigma_i^2\) は \(y_i\) の分散です．ここで，全ての \(y_i\) について \(\sigma_i = \sigma\) と仮定し，また \(\partial S_y/\partial y_i = 1\)， \(\partial S_{xy}/\partial y_i = x_i\) を考慮すれば， \[ \frac{\partial a}{\partial y_i} = \frac{S_{xx} - x_i S_x}{\Delta}, \quad \frac{\partial b}{\partial y_i} = \frac{n x_i - S_x}{\Delta}. \] よって， \begin{eqnarray} \sigma_a^2 & = & \sigma^2 \frac{S_{xx}}{\Delta} \label{eq04}, \\ \sigma_b^2 & = & \sigma^2 \frac{n}{\Delta} \label{eq05}. \end{eqnarray} ここに， \(\sigma^2\) は次の標準誤差， \begin{equation} \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (y_i - a - b x_i)^2}{n-2} \label{eq06} \end{equation} を通常使います．