５-１ 地温勾配と地殻熱流量

地下の温度は地表付近では 20〜30 °C/km の割合で増加し，これを地温勾配といいます．このことは地球内部からの熱の流れ，地殻熱流量，の存在を示します．エネルギーの流れである地殻熱流量の平均値は大陸地域では 65 mW/m²（mW はミリワット），海洋地域では 101 mW/m²，地球全体では 87 mW/m² です．これらの値は，太陽から届くエネルギーを表わす太陽定数の 1366 W/m² に比べて桁違いに小さいです．しかし，地球内部からの熱は多くの地質現象の原因となります．そのため，地殻熱流量を地球上の色々な地域で測定することで，地球内部の熱と温度の状態が分かり，プレートテクトニクスやマントル対流などの地球ダイナミクスについて，熱と温度という観点からの知見が得られます．

熱伝導の法則： 熱の輸送には伝導，対流，輻射がありますが，地殻やマントル上部では熱伝導によると考えられています．熱伝導は次のフーリエの熱伝導の法則で表わされます． \begin{equation} q = -k \frac{dT}{dx}. \label{eq01} \end{equation} ここに， \(q\) は座標 \(x\) 軸に沿った熱流量で， \(k\) と \(dT/dx\) は熱伝導度と温度勾配です．式中の負記号は熱は温度の高い部分から低い部分へ伝わるからです．

地殻熱流量は式 (1) に従って，地温勾配に岩石の熱伝導度を掛けることで見積もります．地温勾配は，大陸上では深井戸における温度測定から，海底では堆積物に刺した槍状のプローブの温度測定から決定します．岩石の熱伝導度は採取した岩石試料について実験室で測定します（海底では，プローブ内のヒーターを利用した直接測定もあります）．例えば，地温が地表で 20 °C，深さ 1 km で 40 °Cで，岩石の熱伝導度は 3 W/m K（K は温度の単位のケルビン）とします． \(x\) 軸を深さ方向に取り， \(dT/dx\) = (40-20)/1000 を式 (1) に代入して， \(q\) = -60 mW/m² となります．これは負の値ですので熱の流れは上向きです．

熱境界層としての地殻とマントル上層部： 地表付近の地温勾配 20〜30 °C/km を，例えば深さ 2000 km の下部マントル内部まで適用すると，温度は 40000〜60000 °C という非現実的な高温となります．このことは熱伝導による熱の輸送は地球上層部だけで，マントルや核では熱対流によることを示します．マントルは固体の岩石ですが地質学的時間スケールでは対流すると考えられます．熱対流による熱輸送の効率は高く，地温勾配は断熱温度勾配の 0.3〜0.5 °C/km 程度と推定されています．地表から熱対流による領域までの温度勾配の大きい部分は熱境界層といわれます．この熱伝導で熱を輸送する熱境界層としての地殻とマントル上層部をリソスフェアとよび，地質学的時間スケールでも固いプレートとして振舞います．リソスフェアの下は，より温度が高く軟らかいアセノスフェアとよばれる領域です．リソスフェアの厚さは海洋地域で 5〜100 km 程度，大陸地域で 150〜200 km 程度と考えられています．なお，リソスフェアとプレートは地球上層部の同じ部分を指す用語ですが，後者は前者をブロックとして分け（太平洋プレートなど），それらの間の衝突や沈み込みなどの造構運動を論ずる場合に使用するようです．

地球内部には，地温勾配の大きい熱境界層が他にも存在します．核と境界をなすマントル最下部は熱境界層と考えられ， D" 層とよばれています．また，マントルは深さ 660 km で上部マントルと下部マントルに２分されますが，それぞれが別個に対流する２層対流とマントル全体で対流する全マントル対流という異なる説があります．前者の場合には，上部と下部の境界では地温勾配の大きな熱境界層が形成されると考えられます．

地球内部の熱源の一つとして，放射性元素による発熱が考えられます．大陸地域では，上部地殻が放射性元素の熱源を多く含む花崗岩ですので，上層部ほど放射性元素の多い熱伝導のモデルで熱流量や温度分布を大体説明できます．海洋地域では，玄武岩の地殻とかんらん岩のマントルの放射性元素の含有量は，それぞれ花崗岩の十分の１と百分の１程度ですので，当初は海洋の熱流量は大陸よりも少ないと予想されていました．しかし，実際はむしろ海洋地域の方が熱流量が多いことが判明しました．この矛盾は，海嶺に上昇してきた高温のマントル物質が，海底で冷却される際のリソスフェア内の熱伝導で説明されました．さらに，海洋底拡大のために海洋リソスフェアは海嶺から離れるにつれて冷えて重くなり，アイソスタシーの結果として海底が深くなることも説明されました．

もう一つの地球内部の熱源としては，地球誕生時に地球内部に閉じ込められた熱があり，誕生後 46 億年経た現在でも地球は冷却の途中にあることは確かです．この熱源と放射性元素の熱源との割合については諸説ありますが，現在では半々程度と考えられています．

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問題５-１-１

地球全体の地殻熱流量により地球内部から放出されるエネルギーを，地震活動や火山噴火により放出されるエネルギーと比較してみます．地震や火山により１年当り平均して放出されるエネルギーの推定値を，個々の地震や噴火の例とともに下表に示します（早川 1996）．地震や火山のエネルギーが随分と大きいことは，例えば１トンの火薬爆発のエネルギーの約 4×10⁹ J（TNT換算 - Wikipedia）と比較することで理解できます．

（１） 地殻熱流量により地球の全表面から放出される１年当たりのエネルギーを，平均の地殻熱流量を 87 mW/m² として計算しなさい．地球の半径を 6400 km とします．

（２） この地殻熱流量により放出されるエネルギーが地球の温度が冷却することにより補われていると仮定すると，地球が１ °C 冷却するのに何年かかるか?地球の質量を 6.0×10²⁴ kg，平均の比熱を 1000 J/kg K とします．

→ 問題５-１-１ 解説

問題５-１-２

地球内部の発熱源となる放射性元素を含む主要な元素はウラン（²³⁸U と ²³⁵U），トリウム（²³²Th），カリウム（⁴⁰K）です．これらの元素の岩石中の含有率は岩石の種類や産地によって大きく異なります．ここでは，一測定例に基づいて岩石の発熱量を計算します．

（１） 放射性元素は放射性崩壊により時間とともに減少しますが，次表は放射性同位体の存在度と単位質量当たりの発熱量の現在値です．ウラン元素としての発熱量とカリウム元素としての発熱量を，放射性同位体の存在度をそれぞれの発熱量に掛けることで，計算しなさい．

（２） 岩石中の U， Th， K の含有量の測定例を３種の岩石について次表に示します．各岩石の単位質量当たりの発熱量 [W/kg] を計算しなさい．但し， U と K については （１） で求めた値を， Th については （１） の表の値を使用します．なお， ppm（perts per million）は百万分率です．また，表に含めた岩石密度を用いて，各岩石の単位体積当たりの発熱量 [W/m³] も計算しなさい．

（出典： Fowler 2005, p.276 を改変）

→ 問題５-１-２ 解説

問題５-１-３

岩石の熱伝導度 \(k_r\) は，厚さ \(d\) の試料の上面から電気ヒーターで入力した熱流量 \(q\) と，試料の上面と下面の温度差 \(\Delta T\) から，熱伝導則により \(k_r=\frac{q}{\Delta T/d}\) として求めることができます．この方法は熱伝導度の絶対測定の一つですが，電力のジュール熱への変換効率は 100 % と考えて良いので \(q\) を正確に見積もることができます．しかし，測定中の熱損失を避けるために試料の厳密な断熱が必要です．

より簡単な測定法は左図のように，熱伝導度が \(k_s\) として既知の標準試料との比較測定です．岩石試料の上に厚さ \(l\) の標準試料を重ね，上下の高温槽と低温槽の温度をそれぞれ \(T_H\) と \(T_C\)，両試料の境界面の温度を \(T_1\) とすれば，両試料の熱流量は同値ですので次式から \(k_r\) を決定できます． \[ k_s\frac{T_H - T_1}{l} = k_r\frac{T_1 - T_C}{d}. \]

しかし，この方法の欠点は岩石試料と標準試料の境界面の熱抵抗により誤差が生じることです．そこで，右図のように同じ厚さの標準試料を岩石試料の上下に配置します．上側の標準試料の底面の温度を \(T_1\)，下側の標準試料の上面の温度を \(T_2\) とします．境界面の厚さと熱伝導度を \(\delta\) と \(k_c\) とし，２つの境界面で同じ値とします．試料や境界面の熱流量が全て同値という条件から次式が得られます． \[ \frac{T_1-T_2}{T_H-T_1} = \frac{k_s}{k_r}\frac{d}{l} + \frac{k_s}{k_c}\frac{2\delta}{l}. \]

（１） 右図で岩石試料の上面と下面の温度を \(T_1'\) と \(T_2'\) とし，熱流量同値の条件式から \(T_1'\) と \(T_2'\) を消去することで上の関係式を導きなさい．

（２） 上の関係式には未知の定数 \(\delta\) と \(k_c\) が含まれていますが，厚さの異なる複数の岩石試料を測定することで，岩石の熱伝導度 \(k_r\) を求めることが可能です．但し， \(\delta\) と \(k_c\) は全ての測定で同じとします．具体的な測定方法を考案しなさい．

（出典： Turcotte & Schubert 2002, p.134 を改変）

→ 問題５-１-３ 解説

参考文献：

• Fowler, C.M.R., The Solid Earth: An Introduction to Global Geophysics (Second Edition), 685 pp., Cambridge University Press, 2005.
• 早川由紀夫，２部 火山 (p.93-179)，新版地学教育講座２ 地震と火山， 191 pp.，東海大学出版会，東京， 1996．
• TNT換算 - Wikipedia, URL:https://ja.wikipedia.org/wiki/TNT換算
• Turcotte, D. & G. Schubert, Geodynamics (Second Edition), 456 pp., Cambridge University Press, 2002.

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