３-２ 万有引力と重力
万有引力の法則とニュートンの運動方程式： 地球上で物体は重さに関係なく同時に落下することは，「１-２ 運動方程式と万有引力」と重複しますが，万有引力の法則とニュートンの運動方程式を使用して，次のように導けます．
地球を半径 \(R\) の密度が一様な球と仮定し，質量を \(M\) とします．地球上の質量 \(m\) の物体は地球による引力 \(F\) を受けることで，ニュートンの運動方程式により加速度を得ますが，これを慣習上 \(g\) で表します．また，地球による引力は，地球中心に位置し地球と同じ質量 \(M\) の質点による万有引力と等しくなります．従って，万有引力定数を \(G\) として， \[ F = G\frac{Mm}{R^2} = mg, \] から重力加速度 \(g\) は， \[ g = \frac{GM}{R^2} \] となり，物体の質量 \(m\) には依存しないことが分かります．この式に \(G\) = 6.674\(\times\)10−11 m3 kg−1 s−2， \(M\) = 5.972\(\times\)1024 kg， \(R\) = 6.371\(\times\)106 m を代入すれば，重力加速度 \(g\) は約 9.8 m/s2 となります．
測地学では重力加速度を単に重力と呼びます．また，重力加速度の単位は CGS 単位系でガリレオ・ガリレイにちなんだガルを使い (Gal = cm/s2)，「重力測定による重力は 980 Gal」などと表現します．しかしここでは，重力と重力加速度は区別して表現し，単位も SI 系の m/s2 を使うことにします．
実際に地球上の物体が受ける重力は，地球自転で発生する遠心力がベクトルとして加わった力です．質量 \(m\) の質点が半径 \(r\) の円を描いて角速度 \(\omega\) で等速円運動を行なっている時に質点が受ける遠心力は， \[ mr\omega^2, \] です．よって，緯度 \(\phi\) における遠心力による加速度は自転軸と垂直で外向きに， \[ \omega^2R\cos\phi \] ですので，これを図のように引力による加速度とのベクトル和を取ると，実際の重力加速度となります．余弦定理を使用して， \[ g = \sqrt{\left(\frac{GM}{R^2}\right)^2 + (\omega^2R\cos\phi)^2 - \frac{2GM \omega^2\cos^2\phi}{R}} \] となります．特に，赤道と極での値 \(g_e\) と \(g_p\) はそれぞれ次のようになります． \[ g_e = \frac{GM}{R^2} - \omega^2R, \quad g_p = \frac{GM}{R^2}. \]
重力加速度の測定： 現代では重力加速度の測定は，真空中を落下する物体の落下距離と時間による絶対測定と，錘を吊るした石英のバネの伸びによる相対測定が主な方法です．しかし，歴史的には振り子の長さと周期による方法が広く行われ，重力加速度の緯度による違いなどが測定されました．現代でも学生実験で行われる，振り子による重力加速度の測定原理は以下の通りです．
質量 \(m\) の錘を長さ \(\ell\) の糸で吊した振子を考えます．振れの角度 \(\theta\) を反時計方向を正に取り，円弧に沿った加速度を \(a\) とすると，錘の運動方程式は， \[ F = ma = -mg\sin\theta, \] となります．円弧に沿った錘の速度 \(v\) はラジアン表示の \(\theta\) を使用して \(v = \ell (d\theta/dt)\) ですので，これを \(t\) で微分して， \[ a = \frac{dv}{dt} = \ell\frac{d^2\theta}{dt^2}, \] となり，また小さな \(\theta\) に対する \(\sin\theta\) の近似式， \[ \sin\theta \approx \theta, \] を使えば，運動方程式は次のようになります． \[ \frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta. \] これは単振動の方程式で，解は \(A\) と \(\alpha\) を定数として， \[ \theta = A\cos(\sqrt{\frac{g}{\ell}}t - \alpha), \] となり，振動の周期 \(T\) は， \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} \] となります．よって，振り子の長さ \(\ell\) と周期 \(T\) を測定すれば次式から重力加速度が求まります． \[ g = 4\pi^2\frac{\ell}{T^2}. \]
問題３-２-１
地球を半径 \(R\)，質量 \(M\) の一様な球として，次の重力加速度と高さに関する問いに答えなさい．但し，自転による遠心力は考慮しないものとします．
- （１） 地表における重力加速度を \(g_0\) として，高さ \(h\) における重力加速度 \(g\) が次式で表されることを導きなさい． \[ g = g_0\left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}. \]
- （２） 問い（１）で導いた式を，次の \(x\) が小さい場合に成り立つ近似式を用いて変形しなさい． \[ (1 + x)^{-2} \approx 1 - 2x \quad (|x| \ll 1). \]
- （３） 地表で測定した体重が 50 kg の人が高さ 320 m のビルで体重を測定すると何 g 減少した表示となるか，地球半径を 6400 km として計算しなさい．但し，体重計は天秤ではないとし，またビルの質量による引力は無視します．
問題３-２-２
地球を球として，万有引力と自転による遠心力についての次の問いに答えなさい．
- （１） 引力による加速度 \(GM/R^2\) と 赤道上での遠心力による加速度 \(\omega^2 R\) を計算しなさい．但し，次の定数を使用し，単位は m/s2 で小数点以下３桁まで求めるものとします． \begin{eqnarray*} G & = & 6.674\times 10^{−11}\ \mathrm{m^3\,kg^{−1}\,s^{−2}},\\ M & = & 5.972\times 10^{24}\ \mathrm{kg},\\ R & = & 6.371\times 10^6\ \mathrm{m},\\ \omega & = & 2\pi\div(0.9973\times 24\times 3600) = 7.292\times 10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}. \end{eqnarray*}
- （２） 北極で測定した体重が 50 kg の人が，同じ体重計を使用して赤道で体重を測定すると何 g 小さい値を示すか? 但し，体重計は天秤ではないとします．
- （３） 地球表面で物体が東に向かって運動すると，地球の自転による円運動の速度に物体の速度が加わり，物体に働く遠心力が増加します．その結果，物体に働く重力加速度は減少します．物体が西向きに運動する場合はこの逆となります．これをエトベス効果といいます．では，赤道上で東向きに速度 \(v\) で運動する物体に働く遠心力による加速度は， \[ \frac{(\omega R + v)^2}{R} \approx \omega^2 R + 2v\omega, \] となり，静止状態に比べて \(2v\omega\) 増えることを示しなさい．但し， \(v\) は地球表面の自転速度 \(\omega R\) に比べて小さく（\(v \ll \omega R\)），次の近似式を使用します． \[ (1+x)^2 \approx 1 + 2x \quad (|x| \ll 1). \]
- （４） 北極で測定した体重が 50 kg の人が赤道上を東に 1 m/s の速度で運動するとき，エトベス効果による体重のみかけの減少は何 g か?
補足： エトベス効果は → ３-４ 自転とコリオリ力や → 問題３-４-１で学ぶコリオリ力の鉛直成分です．
問題３-２-３
地下の鉱床を探査する方法の１つとして重力探査があります．これは密度が周囲と異なる物体が地下に埋まっていると，地表の重力加速度が標準値より異なる値を示す現象を利用します．これを重力異常といいます．
地下鉱床による重力異常のモデルとして，中心が深さ \(d\)，半径が \(r\) の球形の鉱床を考え，その密度の周囲との差を \(\Delta\rho\) とします．直上の地表面での重力加速度の異常 \(\Delta g\) は，重力理論によると，密度が \(\Delta\rho\) の球による重力加速度に等しいことが分かります．
- （１） 球による引力は，球の中心に位置し球と同じ質量の質点による引力と等しいことを利用して，次式を導きなさい． \[ \Delta g = \frac{4\pi Gr^3\Delta\rho}{3d^2}. \]
- （２） 鉱床は密度 8000 kg/m3 の鉄鉱床とし，周囲の岩石の密度を 3000 kg/m3， \(d\) = 300 m， \(r\) = 200 m とするとき，重力加速度の異常を計算し， mm/s2 の単位で表しなさい．標準重力を 9.8 m/s2 とすると，この重力異常は標準重力の何万部の１か? なお，万有引力定数は \(G\) = 6.674\(\times\)10-11 m3 kg-1 s-2 です．