10章 合同数(congruum) (D27 Congruent numbers)

(1999/06/07) [English]

概要

3辺 a, b, c が有理数となる直角3角形の面積 g として表される数を合同数 (congruum)と呼ぶ。
a, b, c が自然数の場合、a, b が直角を挟む辺とすると、直角3角形の面積 s は、

s = ab/2

kを、s=k2g (kは1以上の自然数、gは2乗因子を含まない) と定義し、両辺をk2で割ると、

g=(a/k)(b/k)/2

よって、合同数の定義は、

「3辺 a, b, c が自然数となる直角3角形の面積 s から 2乗因子を取り除いた数として表される自然数 g」

と云いかえることができる。


3辺が互いに素な自然数となる直角3角形の3辺a、b、cは以下の式で表される。

a = m2-n2
b = 2mn
c = m2+n2
(m, n は任意の自然数)

この直角3角形の面積 s は、s = mn(m2-n2) となる。
s の2乗因子を k をすると、 s =k2g = mn(m2-n2)

例えば、

m=2, n=1

に対し、

a = m2-n2 = 22-12 = 3
b = 2mn = 2 * 2 * 1 = 4

となり、

s = mn(m2-n2) = 2 * 1 *(22-12) = 6

であるから、6は合同数である。


上の定義を<定義1>とする。合同数 g は、さらに 2通りの定義方法がある。

<定義2>

以下の連立2次不定方程式

x2+gy2=z2
x2-gy2=±w2

が、x, y, z, w についての整数解を持つような自然数 g 。

<定義3>

楕円曲線 y2=x3-g2x が、
(0,0), (±g,0) 以外に有理点を持つような自然数 g 。

これらの定義間には互いに変換公式がある。
また、楕円曲線の有理点の2倍に相当するような公式が、<定義1><定義2>についても存在する。


『数論における未解決問題集』D27 に、1000以下の合同数361個が載っている。
ここでは、それらについて、上記条件を満たす m, n を求めてみる。
(1 ≤ g ≤ 999 の範囲の全解は、こちら)


この問題の意味するところを理解するために、以下の解を求めてみて下さい。

目次

1.<定義1>による探査計算結果

1.1  m, n についての単純ループ

  1 ≤ g ≤  99, 100 ≤ g ≤ 199
200 ≤ g ≤ 299, 300 ≤ g ≤ 399
400 ≤ g ≤ 499, 500 ≤ g ≤ 599
600 ≤ g ≤ 699, 700 ≤ g ≤ 799
800 ≤ g ≤ 899, 900 ≤ g ≤ 999

1.2  m, n, m+n, m-n のうち、2個が 2乗数となる場合

  1 ≤ g ≤  99, 100 ≤ g ≤ 199
200 ≤ g ≤ 299, 300 ≤ g ≤ 399
400 ≤ g ≤ 499, 500 ≤ g ≤ 599
600 ≤ g ≤ 699, 700 ≤ g ≤ 799
800 ≤ g ≤ 899, 900 ≤ g ≤ 999

1.3  m, n, m+n, m-n のうち、3個が 2乗数となる場合

  1 ≤ g ≤ 499
500 ≤ g ≤ 999

2.<定義2>による探査計算結果

2.1  x, y についての単純ループ

(1) 定義1 との同値性
(2) プログラム
(3) w2の係数が負の場合
(4) プログラム

  1 ≤ g ≤ 499 of (2)
500 ≤ g ≤ 999 of (2)

  1 ≤ g ≤ 999 of (4)

2.2 補助方程式による解

(1) 補助方程式
(2) プログラム

1 ≤ g ≤ 999

3. 各定義間の変換公式 計算結果
4. 各定義の2倍公式

5. <定義1>に関する Godwin の方法

6. 合同数の判定条件

7. まとめ

1 ≤ g ≤ 999 の範囲の全解,

楕円曲線 y2=x(x2-g2) の rank
(Cremona の mwrank.exe
による計算結果)

   1 ≤ g ≤  999
1000 ≤ g ≤ 1999
2000 ≤ g ≤ 2999
3000 ≤ g ≤ 3999
4000 ≤ g ≤ 4999
5000 ≤ g ≤ 5999
6000 ≤ g ≤ 6999
7000 ≤ g ≤ 7999
8000 ≤ g ≤ 8999
9000 ≤ g ≤ 9999


9章 友愛数
(amicable numbers)
数学者の密室
目次
11章 数論的アルゴリズム
Chapter 9.
Amicable Numbers
"Mathematician's Secret Room" Chapter 11.
Number Theoretic Algorithms

E-mail : kc2h-msm@asahi-net.or.jp
三島 久典