１．＜定義１＞による探査

1.3　ｍ、ｎ、ｍ＋ｎ、ｍ−ｎのうち、３個が２乗数となる場合

前頁では、ｍ、ｎ自体が２乗数のときを調べたが、例えば、

ｍ＝(i²−j²)²
ｎ＝(2ij)²

とおくと、

ｍ＋ｎ＝(i²＋j²)²

となり、ｍ＋ｎも２乗数となる。
ここでは、ｍ、ｎ、ｍ＋ｎ、ｍ−ｎのうち、３個が２乗数となる場合を考えてみる。

ｍ、ｎ、ｍ＋ｎ、ｍ−ｎのうち、ａ＋ｂ＝ｃのような関係式が成り立つのは、

ｍ−ｎ＜ｍ＜ｍ＋ｎ
ｎ＜ｍ

という大小関係に着目すると、以下の２通りしかない。

1. （ｍ−ｎ）＋ｎ＝ｍ
2. ｍ＋ｎ＝（ｍ＋ｎ）

（ｍ−ｎ）＋ｍ＝（ｍ＋ｎ）
は、ｍ＝２ｎとなり、ｍとｎが互いに素という条件に反する。

この２つについて、(i²−j²)²、(2ij)²を当てはめる方法は、 以下の４通り。

No.	m	n	m+n	m-n
1	(i2＋j2)2	(i2−j2)2		(2ij)2
2	(i2＋j2)2	(2ij)2		(i2−j2)2
3	(i2−j2)2	(2ij)2	(i2＋j2)2
4	(2ij)2	(i2−j2)2	(i2＋j2)2

• 1.の場合、ｍ＋ｎ＝2(i⁴＋j⁴)
  この場合を(6)とする

• 2.の場合、ｍ＋ｎ＝i⁴＋j⁴＋6ij²
  この場合を(7)とする

• 3.の場合、ｍ−ｎ＝i⁴＋j⁴−6ij²
  これは、i⁴＋j⁴＞6ij² の場合のみ成立する。
  この場合を(8)とする

• 4.の場合、ｍ−ｎ＝6ij²−(i⁴＋j⁴)
  これは、i⁴＋j⁴＜6ij² の場合のみ成立する。
  この場合を(9)とする

以上まとめると、プログラムは以下のとおりとなる。

プログラム

 10   ' congruum : cong_3.ub
 20   L%=10000:M%=1000
 30   '
 40   for I%=2 to L%:I2=I%^2:I4=I2^2
 50     for J%=1 to I%-1:if gcd(I%,J%)>1 then 160 else J2=J%^2:J4=J2^2
 60   ' (1) m=(i2+j2)^2, n=(i2-j2)^2, N=2(i4+j4)
 70       G=fnSub(2*(I4+J4)):if G>M% then 90
 80       M=(I2+J2)^2:N=(I2-J2)^2:R%=fnPrt(6)
 90   ' (2) m=(i2+j2)^2, n=4i2j2, N=i4+j4+6i2j2
100       G=fnSub(I4+J4+6*I2*J2):if G>M% then 120
110       N=4*I2*J2:M=(I2-J2)^2+N:R%=fnPrt(7)
120   ' (3)(4) m,n=(i2-j2)^2, n,m=4i2j2, N=|i4+j4-6i2j2|
130       G=fnSub(abs(I4+J4-6*I2*J2)):if G>M% then 160
140       if I4+J4-6*I2*J2>0 then M=(I2-J2)^2:N=4*I2*J2:R%=fnPrt(8):goto 160
150       N=(I2-J2)^2:M=4*I2*J2:R%=fnPrt(9)
160     next J%
170   next I%
180   end
190   '
200   fnSub(G)
210   local P,S=1
220   P=prmdiv(G):if or{P>M%,P=0} then return(G)
230   G=G\P:if G@P=0 then G=G\P else S=S*P
240   if or{S>M%,G=1} then return(S) else goto 220
250   '
260   fnPrt(T)
270   reduce M,N
280   print "(";cutspc(str(T));"):";G;",";M;",";N;",";I%;",";J%;":";
290   K=isqrt(M*N*(M+N)*(M-N)\G):X=(M*G)//N:Y=(K*G*G)//(N*N)
300   print num(X);",";num(Y);",";isqrt(den(X))
310   return(0)

10,000以下のｉ、ｊについて調べたところ、新たに以下の７個について解が求められた。

167, 287, 359, 383, 479, 679, 839

実行結果は以下のとおり。

• 　1 ≦ ｇ ≦ 499
• 500 ≦ ｇ ≦ 999

解が依然見つかっていないのは、以下の 126個。

 53,
101, 103, 118, 127, 142, 157, 173, 181, 191, 197, 199,
223, 229, 237, 263, 269, 271, 277, 278, 293,
302, 303, 311, 317, 326, 327, 334, 349, 358, 365, 367, 373, 382, 389, 397, 398,
407, 413, 415, 421, 431, 439, 446, 453, 454, 461, 463, 478, 485, 487, 493,
501, 502, 503, 519, 533, 541, 542, 543, 557, 566, 573, 583, 597, 599,
607, 613, 614, 623, 631, 638, 647, 653, 661, 662, 677, 685, 695,
701, 703, 717, 718, 727, 733, 742, 743, 757, 758, 766, 767, 773, 781, 789, 797,
807, 815, 822, 823, 829, 831, 838, 853, 862, 863, 877, 878, 886, 887, 893,
911, 917, 919, 926, 933, 941, 958, 965, 967, 974, 982, 983, 989, 991, 997, 998