1978に発表された H. J. Godwin による方法を紹介する。
(出典:H. J. Godwin, "A Note on Congruent Numbers", Mathematics of Computation, 32 (January 1978) 293-295)
「1.3 m、n、m+n、m−n のうち、3個が2乗数となる場合」で使った手法には、まだ先がある。
m=(2ij)2
n=(i2−j2)2
のとき、
T(m)=T(n)=T(m+n)=1
となる。
m−n={2ij−(i2−j2)}{2ij+(i2−j2)}
ここで、さらに、
i+j=r2+2s2
j=2rs
とおくと、
2ij+(i2−j2)=(r2−2s2)2
∴ T(m-n)=T(2ij−(i2−j2))=T((r2−2s2)2−2(r2−2rs+2s2)2)
この f(r,s)=(r2−2s2)2−2(r2−2rs+2s2)2 について、 Godwinは s≦40,000 まで調べて、以下の解を得た。
g | m | n | r | s |
---|---|---|---|---|
103 | 8780605285453456 | 7551929273974569 | 38 | 119 |
127 | 306317326339867638016 | 305111826865145547009 | 136 | 443 |
167 | 115222229136 | 3447686089 | 14 | 27 |
191 | 404727588018561600 | 384957657745092721 | 60 | 193 |
199 | 13933945152400 | 273684876201 | 26 | 49 |
223 | 50942322536708571136 | 14384824876061849889 | 256 | 301 |
263 | 2415046965407199886472444395015056 | 2196589972531420851340521356470969 | 4017 | 12767 |
271 | 90565100276929600 | 10384564009711761 | 49 | 106 |
311 | 190727483528715254643600 | 124670583817928357228041 | 705 | 2061 |
359 | 3302812394010000 | 3302771130607081 | 23 | 75 |
383 | 403654067228736 | 303839168346289 | 153 | 138 |
431 | 193276189912334400 | 3177076466844721 | 61 | 114 |
439 | 70989410337024400 | 43044356506452921 | 130 | 127 |
463 | 1162623700824087616 | 141856298295251409 | 67 | 146 |
487 | 1019034345734453406615667216 | 409136538889385517944610009 | 751 | 1973 |
631 | 7121391825113218180095235600 | 7063072218419717533435319241 | 2615 | 1927 |
839 | 921024090000 | 798612109801 | 25 | 21 |
919 | 172438957409290000 | 94730381860226121 | 142 | 143 |
991 | 139113978859943328654400 | 126099694516817139337521 | 211 | 670 |
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