２．＜定義２＞による探査

2.2　補助方程式による解

(1) 補助方程式

参考文献『Recreations in the theory of numbers』に補助方程式を使った探査方法が載っている。
ここでは、その方法による探査を行ってみる。

ｘ²＋ｙ²＝ａｚ²
ｘ²−ｙ²＝ｂｗ²
ａｂ＝ｇ

を満たすｘ、ｙ、ｚ、ｗ、ａ、ｂについて、

Ｘ＝ｘ⁴＋ｙ⁴
Ｙ＝２ｘｙｚｗ

とおくと、Ｘ、Ｙは

Ｘ²＋ｇＹ²＝Ｚ²
Ｘ²−ｇＹ²＝Ｗ²

を満たす。

ｘ＝ｍ²＋ｂｎ²
ｙ＝ｍ²−ｂｎ²

とおくとき、ｘ²−ｙ²＝４ｂｍ²ｎ²＝ｂ(２ｍｎ)² となる。
このとき、ｘ²＋ｙ²＝２(ｍ⁴＋ｂ²ｎ⁴)＝ａｚ²
したがって、２(ｍ⁴＋ｂ²ｎ⁴) がａで割り切れ、かつ、完全平方になるような、ｍ、ｎを求めればよい。
ａの値は、ｘ²＋ｙ²＝ａｚ² という式より、１、２または 4n+1 を素因数に持つような数に限られることがわかる。

補助方程式による探査のメインループは以下のような構造になる。

10  for m=2 to 32767:m4=m^4
20    for n=1 to m-1:if gcd(m,n)>1 then 60 else n4=n^4
30      z=2*(m4+b^2*n4)\a:if res>0 then 60
40      z=isqrt(z):if res>0 then 60
50      print g,m,n: ' g=ab
60    next n
70  next m

ここで mod 4で考える。

1. m, b, n の総当たりから、x, y, x²+y²の取り得る値を計算する
2. b の値から、ａの取り得る値を計算する
3. ａ、ｚの総当たりから、az²の取り得る値を計算する

ということを行うと（詳細は省くが）、以下のことがわかる。

1. ｂが偶数のときは解なし
2. ａが偶数のときは、m, b, n は全ての値を取りうる
3. ａが奇数のときは、m, b, n は全て奇数

1000以下の数でこの条件を満たすａと、そのようなａを素因数に持つような未解決の合同数を探してみる。
プログラムは以下のとおり。

 10   ' print=print+"g_aux_u.txt"
 20   L%=121:dim G%(L%):gosub 160:' set congruum into g%()
 30   '
 40   for A%=1 to 1000:W%=A%:if moeb(W%)=0 then 140
 50     P%=prmdiv(W%):if P%=1 then 100
 60     if P%=2 then 80
 70     if P%@4=3 then 140
 80     W%=W%\P%:goto 50
 90   '
100     J%=0:print:print A%;":";
110     for I%=1 to L%
120       if G%(I%)@A%=0 then inc J%:print G%(I%);
130     next I%
140   next A%
150   end
160   ' congruum
170   for I%=1 to L%:read A%:G%(I%)=A%:next I%:return
180   data 101,103,118,127,142,157,173,181,191,197,199,223,229,237,263,269
190   data 271,277,278,293,302,303,311,317,326,334,358,365,367,373,382,389
200   data 397,398,407,413,415,421,431,439,446,453,454,461,463,478,487,493
210   data 501,502,503,519,541,542,543,557,566,573,583,597,599,607,613,614
220   data 623,631,638,647,653,661,662,677,685,695,701,703,717,718,727,733
230   data 742,743,757,758,766,767,773,781,789,797,807,815,822,823,829,831
240   data 838,853,862,863,877,878,886,887,893,911,917,919,926,933,941,958
250   data 965,967,974,982,983,989,991,997,998

実行結果を整理すると以下のようになる。
ただし、上の条件から、探査不要となっているものは省く。

a	g
1	101, 103, 127, 157, 173, 181, 191, 197, 199, 223, 229, 237, 263, 269, 271, 277, 293, 303, 311, 317, 365, 367, 373, 389, 397, 407, 413, 415, 421, 431, 439, 453, 461, 463, 487, 493, 501, 503, 519, 541, 543, 557, 573, 583, 597, 599, 607, 613, 623, 631, 647, 653, 661, 677, 685, 695, 701, 703, 717, 727, 733, 743, 757, 767, 773, 781, 789, 797, 807, 815, 823, 829, 831, 853, 863, 877, 887, 893, 911, 917, 919, 933, 941, 965, 967, 983, 989, 991, 997
2	118, 142, 278, 302, 326, 334, 358, 382, 398, 446, 454, 478, 502, 542, 566, 614, 638, 662, 718, 742, 758, 766, 822, 838, 862, 878, 886, 926, 958, 974, 982, 998
5	365, 415, 685, 695, 815, 965
13	767
17	493
29	493
37	407, 703
53	583
58	638
73	365
89	623
101	101, 303
106	742
137	685
157	157
173	173, 519
181	181, 543
193	965
197	197
229	229
269	269, 807
274	822
277	277, 831
293	293
317	317
365	365
373	373
389	389
397	397
421	421
461	461
493	493
541	541
557	557
613	613
653	653
661	661
677	677
685	685
701	701
733	733
757	757
773	773
797	797
829	829
853	853
877	877
911	911
941	941
965	965
997	997

以下、

1. ａ＝１の場合
2. ａ＝２の場合
3. それ以外の場合

に分けて考えてみる。