３-２ 万有引力と重力
万有引力の法則とニュートンの運動方程式： 地球上で物体は重さに関係なく同時に落下することは，「１-２ 運動方程式と万有引力」と重複しますが，万有引力の法則とニュートンの運動方程式を使用して，次のように導けます．
地球を半径 \(R\) の密度が一様な球と仮定し，質量を \(M\) とします．地球上の質量 \(m\) の物体は地球による引力 \(F\) を受けることで，ニュートンの運動方程式により加速度を得ますが，これを慣習上 \(g\) で表します．また，地球による引力は，地球中心に位置し地球と同じ質量 \(M\) の質点による万有引力と等しくなります．従って，万有引力定数を \(G\) として， \[ F = G\frac{Mm}{R^2} = mg, \] から重力加速度 \(g\) は， \[ g = \frac{GM}{R^2} \] となり，物体の質量 \(m\) には依存しないことが分かります．この式に \(G\) = 6.674\(\times\)10−11 m3 kg−1 s−2， \(M\) = 5.972\(\times\)1024 kg， \(R\) = 6.371\(\times\)106 m を代入すれば，重力加速度 \(g\) は約 9.8 m/s2 となります．
測地学では重力加速度を単に重力と呼びます．また，重力加速度の単位は CGS 単位系でガリレオ・ガリレイにちなんだガルを使い (Gal = cm/s2)，「重力測定による重力は 980 Gal」などと表現します．しかしここでは，重力と重力加速度は区別して表現し，単位も SI 系の m/s2 を使うことにします．
実際に地球上の物体が受ける重力は，地球自転で発生する遠心力がベクトルとして加わった力です．質量 \(m\) の質点が半径 \(r\) の円を描いて角速度 \(\omega\) で等速円運動を行なっている時に質点が受ける遠心力は， \[ mr\omega^2, \] です．よって，緯度 \(\phi\) における遠心力による加速度は自転軸と垂直で外向きに， \[ \omega^2R\cos\phi \] ですので，これを図のように引力による加速度とのベクトル和を取ると，実際の重力加速度となります．余弦定理を使用して， \[ g = \sqrt{\left(\frac{GM}{R^2}\right)^2 + (\omega^2R\cos\phi)^2 - \frac{2GM \omega^2\cos^2\phi}{R}} \] となります．特に，赤道と極での値 \(g_e\) と \(g_p\) はそれぞれ次のようになります． \[ g_e = \frac{GM}{R^2} - \omega^2R, \quad g_p = \frac{GM}{R^2}. \]
重力加速度の測定： 現代では重力加速度の測定は，真空中を落下する物体の落下距離と時間による絶対測定と，錘を吊るした石英のバネの伸びによる相対測定が主な方法です．しかし，歴史的には振り子の長さと周期による方法が広く行われ，重力加速度の緯度による違いなどが測定されました．現代でも学生実験で行われる，振り子による重力加速度の測定原理は以下の通りです．
質量 \(m\) の錘を長さ \(\ell\) の糸で吊した振子を考えます．振れの角度 \(\theta\) を反時計方向を正に取り，円弧に沿った加速度を \(a\) とすると，錘の運動方程式は， \[ F = ma = -mg\sin\theta, \] となります．円弧に沿った錘の速度 \(v\) はラジアン表示の \(\theta\) を使用して \(v = \ell (d\theta/dt)\) ですので，これを \(t\) で微分して， \[ a = \frac{dv}{dt} = \ell\frac{d^2\theta}{dt^2}, \] となり，また小さな \(\theta\) に対する \(\sin\theta\) の近似式， \[ \sin\theta \approx \theta, \] を使えば，運動方程式は次のようになります． \[ \frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta. \] これは単振動の方程式で，解は \(A\) と \(\alpha\) を定数として， \[ \theta = A\cos(\sqrt{\frac{g}{\ell}}t - \alpha), \] となり，振動の周期 \(T\) は， \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} \] となります．よって，振り子の長さ \(\ell\) と周期 \(T\) を測定すれば次式から重力加速度が求まります． \[ g = 4\pi^2\frac{\ell}{T^2}. \]
問題３-２-１
地球を半径 \(R\)，質量 \(M\) の一様な球として，次の重力加速度と高さに関する問いに答えなさい．但し，自転による遠心力は考慮しないものとします．
- （１） 地表における重力加速度を \(g_0\) として，高さ \(h\) における重力加速度 \(g\) が次式で表されることを導きなさい． \[ g = g_0\left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}. \]
- （２） 問い（１）で導いた式を，次の \(x\) が小さい場合に成り立つ近似式を用いて変形しなさい． \[ (1 + x)^{-2} \approx 1 - 2x \quad (|x| \ll 1). \]
- （３） 地表で測定した体重が 50 kg の人が高さ 320 m のビルで体重を測定すると何 g 減少した表示となるか，地球半径を 6400 km として計算しなさい．但し，体重計は天秤ではないとし，またビルの質量による引力は無視します．
問題３-２-２
地球を球として，万有引力と自転による遠心力についての次の問いに答えなさい．
- （１） 引力による加速度 \(GM/R^2\) と 赤道上での遠心力による加速度 \(\omega^2 R\) を計算しなさい．但し，次の定数を使用し，単位は m/s2 で小数点以下３桁まで求めるものとします． \begin{eqnarray*} G & = & 6.674\times 10^{−11}\ \mathrm{m^3\,kg^{−1}\,s^{−2}},\\ M & = & 5.972\times 10^{24}\ \mathrm{kg},\\ R & = & 6.371\times 10^6\ \mathrm{m},\\ \omega & = & 2\pi\div(0.9973\times 24\times 3600) = 7.292\times 10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}. \end{eqnarray*}
- （２） 北極で測定した体重が 50 kg の人が，同じ体重計を使用して赤道で体重を測定すると何 g 小さい値を示すか? 但し，体重計は天秤ではないとします．
- （３） 地球表面で物体が東に向かって運動すると，地球の自転による円運動の速度に物体の速度が加わり，物体に働く遠心力が増加します．その結果，物体に働く重力加速度は減少します．物体が西向きに運動する場合はこの逆となります．これをエトベス効果といいます．では，赤道上で東向きに速度 \(v\) で運動する物体に働く遠心力による加速度は， \[ \frac{(\omega R + v)^2}{R} \approx \omega^2 R + 2v\omega, \] となり，静止状態に比べて \(2v\omega\) 増えることを示しなさい．但し， \(v\) は地球表面の自転速度 \(\omega R\) に比べて小さく（\(v \ll \omega R\)），次の近似式を使用します． \[ (1+x)^2 \approx 1 + 2x \quad (|x| \ll 1). \]
- （４） 北極で測定した体重が 50 kg の人が赤道上を東に 1 m/s の速度で運動するとき，エトベス効果による体重のみかけの減少は何 g か?
補足： エトベス効果は → ３-４ 自転とコリオリ力や → 問題３-４-１で学ぶコリオリ力の鉛直成分です．
問題３-２-３
天体の自転速度が何らかの理由で増大し，赤道での遠心力が天体自身の万有引力（自己重力）と等しくなると天体は破壊されます．
- （１） 密度 \(\rho\) の天体について，この限界の自転の角速度 \(\omega\) は万有引力定数 \(G\) を用いて次式となることを導きなさい． \[ \omega = \sqrt{\frac{4\pi}{3}G\rho}. \]
- （２） 地球の密度を5500 kg/m \(^3\) として，破壊の限界の自転周期を求めなさい．