問題３−２−１ 解答
（１） 本文で導いた通り， \(g_0\) は \[ g_0 = \frac{GM}{R^2}, \] です．高さ \(h\) では，この式の \(R\) を \(R+h\) で置き換えて， \begin{eqnarray*} g & = & \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{R^2}\frac{R^2}{(R+h)^2} = g_0\frac{1}{\left(1 + \frac{h}{R}\right)^2}, \\ & = & g_0\left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}. \end{eqnarray*}
（２） \(h\) は \(R\) に対して大変小さいので， \(|h/R| \ll 1\) として近似すると， \[ g = g_0\left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2} \approx g_0\left(1 - \frac{2h}{R}\right). \]
（３） （２）の式を次のように表します． \[ \frac{g}{g_0} - 1 = -\frac{2h}{R}. \] これに \(h\) = 0.32 km， \(R\) = 6400 km を代入すると， \[ \frac{g}{g_0} - 1 = -0.0001. \] 即ち，重力加速度は 0.01% 小さくなり，体重計は 5 g 小さい値を示すことになります．
問題３−２−２ 解答
（１） \(GM/R^2\) と \(\omega^2 R\) の計算結果は次の通りです． \[ \frac{GM}{R^2} = 9.820\ \mathrm{m/s^2}, \quad \omega^2 R = 0.034\ \mathrm{m/s^2}. \]
（２） \(\omega^2 R\) と \(GM/R^2\) の値の比を体重に掛けます． \[ 50\times \frac{0.034}{9.820}\times 1000 = 173\ \mathrm{g}. \] この値は，高い測定精度が必要な場合にはかなり大きいです．市販の体重計などは，使用される国の緯度を考慮して設定されているようです．また，日本のように緯度の差が大きい国に向けた製品では，地域設定の機能も設けているそうです．
（３） 自転による赤道上での地表の速度を \(V\) とすると， \(V=\omega R\) と表せますので，地球の自転による赤道上での遠心力による加速度は， \[ \omega^2R = \frac{V^2}{R}. \] 東向きに \(v\) で運動する物体の受ける遠心力による加速度は，この式の \(V\) を \(V+v\) で置き換えて，さらに \(v/\omega R \ll 1\) として近似すると， \begin{eqnarray*} \frac{(V+v)^2}{R} & = & \frac{(\omega R + v)^2}{R} = \omega^2 R\left(1 + \frac{v}{\omega R}\right)^2 \approx & \omega^2 R \left(1 + \frac{2v}{\omega R}\right), \\ & = & \omega^2 R + 2v\omega. \end{eqnarray*} よって，遠心力による加速度は静止状態に比べて \(2v\omega\) 増加します．
（４） （３）の式の \(2v\omega\) の値と北極での重力加速度の値との比を計算すると， \[ \frac{2v\omega}{GM/R^2} = \frac{2\times 1 \times(7.292\times 10^{-5})}{9.820} = 1.485\times 10^{-5} \] となり，この値を体重に掛けて \(0.743\ \mathrm{g}\) 減少します． 0.7 g は小さいですが，航行中の船上で行われる重力測定などでは，必ずエトベス効果の補正が必要になります．
なお，エトベス効果はコリオリ力の鉛直成分です．地球の自転によるコリオリ力については， → ３-４ 自転とコリオリ力 や → 問題３-４-１ を参照してください．
問題３−２−３ 解答
（１） 天体の半径を \(R\) とし，赤道での自己重力と遠心力を等置して \(\omega\) について解きます． \begin{align*} \frac{G(4\pi/3)R^3\rho}{R^2} & = \omega^2R, \\ \omega & = \sqrt{\frac{4\pi}{3}G\rho}. \end{align*} （２） \(\rho\) = 5500 kg/m \(^3\)，\(G\) = 6.674\(\times\)10\(^{−11}\ \mathrm{m^3\,kg^{−1}\,s^{−2}}\) を代入して計算すると， \(\omega = 1.240\times 10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}\) ．自転周期 \(T=2\pi/\omega\) は， \(T = 5.067\times 10^3\ \mathrm{s} = 1.41\ \mathrm{h}\) ．地球が破壊される限界の自転周期は約 1.4 時間です．