\[ f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2s_{x}^{2}}} \]

半径 \(r=|x|\) の同心円上も同じ相対確率密度になるので、半径 0 から無限大までの全面積にわたって積分すると全人口の相対数 \(I\) は

\[ I=\int_{0}^{\infty}2\pi xe^{-\frac{x^{2}}{2s_{x}^{2}}}dx=2\pi s_{x}^{2} \]

と、計算できる。中心からの距離の標準偏差 \(s\) は

\[s^2 = s_{x}^{2} + s_{y}^{2}\]

の関係を満たし、

\[s_{x}^{2} = s_{y}^{2}\]

なので

\[ s=\sqrt{2}s_{x} \]

よって、中心から距離 \(s\)までの相対人口 \(I_{s}\) は

\[ I_{s}=\int_0^{\sqrt{2}s_{x}}2\pi xe^{-\frac{x^{2}}{2s_{x}^{2}}}dx=2\pi s_{x}^{2}(1-e^{-1}) \]

存在確率は

\[ \frac{I_{s}}{I}=1-e^{-1}=0.632120559 \] ゆえに、１万人中、半径\(s\)の範囲に存在する酔っ払いは約6300人