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§４８　前おき　　２０１３年０２月１７日

　いよいよScrodinger方程式に入ってきました。感動を覚えるのですが、それ以上に不安が募ってきます。というのも、徐々に私には理解できない数学的議論が多くなることが予想されるからです。本節は”前おき”ということで、朝永がSchrodinger方程式に関する重要な歴史的背景、導き方等について説明していますので、まずはそのまま引用したいと思います。

　「前章に於いて物質の波動像に基づく理論を組み上げたが、この理論は光の波動論との類推がその土台となっている。従って、光に対するMaxwellの理論と全く同様に、この理論において物質は連続的なものであってつぶつぶの構造は少しももっていない。光に対するMaxwellの理論と同様に、物質の波動論に於いてもそのエネルギーは空間に連続的に分布しているし、その波の振幅は任意の値を連続的にとることが出来る。実際、de Broglie波に属する物質量やエネルギーは(40.13)で与えられるが、これらは、あらゆる値を連続的にとり得るので、そこには何らの粒子性もあらわれない。」

　「光の理論において、光の粒子性をわれわれが取り入れたのは次のようないきさつがあった。先ず、真の意味はよくわからぬながら、νという振動数の波のエネルギーはｈνの整数倍が可能である、というPlanckの仮説を取り入れることである。次にわれわれが知ったことは、このPlanckの仮説がもっと一般的な仮説、即ち週期的な力学系に於いては、
　　　∫ｃircl（ｐｄｑ） = ｎｈ,　　ｎ = 0,1,2,・・・　　　　　(48.1)
をみたすような運動だけが許される、という量子化の仮説の中に含まれることであった。光の波も、第�T巻付録�Wで示したように、正準方程式に従う週期的な力学系と考えてよいので、これに対して量子条件(48.1)を適用することが出来、そうすればＰｌａｎｃｋの仮説が導出される。」

　「これと同じ事情がde Broglie波についても成り立つことを前節で示した。即ち、de Broglie場も正準方程式に従う力学系と考えることが出来（方程式(47.10)をみよ）、更にそれに量子条件(48.1)を適用すると、物質のもつエネルギーに対してPlanckの関係が成立する（(47.31)の第１式をみよ）のみならず、物質の全質量が、ある最小単位ｍの整数倍になる（（47.13)の第2式をみよ）、という結論が得られる。この後の結論は、はっきりと物質の粒子性を示している。」

　「こうして、物質の波動論も、量子化することによって始めて粒子性を示すことがわかる。ところで、前章で与えた若干の例に於いて見られたように、少なくとも１粒子問題に於いては、物質波を量子化して得られる結論が、通常のBohrの理論で得られた結論と一致する。ここで通常のBohrの理論といったのは、始めから物質を粒子であると考え、それに質点力学の正準形式を適用し、それと量子条件(48.1)を結びつけるやり方である。こうなると話は次のようになりそうである。出発点としては物質を粒子であると考えても波動であると考えてもよろしい。何れにしても、それを正準形式で取り扱い、そしてそれに量子条件を適用すると、同一の結果が得られる。このようないきさつをながめてみると、次のように言ってよさそうにみえる。即ち、Bohrの量子論は、もともとは物質の粒子像を土台として展開されてきたものであるが、物質の波動像に対しても（Maxwellの場もde Broglieの場も含めて）彼の量子条件を適用することが出来、かつこの条件を用いるなら、どちらの像から出発しても同一の結論が得られ、従って物質は粒子であるか波動であるか、どちらであるか、という質問は意味を失うのであろう。」

　以上が前章までの議論の結論かと思います。この後に、”マトリックス力学”（第�T巻にありますが、今回省略しました）の話が出てきますが、このまま引用して続けます。　「一方このBohrの理論の発展としてわれわれはHeisenbergのマトリックス力学をもっている。Bohrの理論では、粒子の運動と、それの出す光の波との間に対応関係があるだけで、直接の関係はなかった。Heisenbergは理論の根本を変えて、この間の関係を直接の関係におきなおす、という方針で進んだ。即ちこの理論によって、粒子の出す光の振動数及び強度そのものが直接に粒子の「運動」とむすびつくようになった。しかしそのためには、粒子の「運動」という考えを、通常の意味に解することは出来なくなった。数学的にいえば、粒子の座標や運動量をマトリックスと考えることである。そして、この理論で、座標と運動量との二つのマトリックスの間に、正準な交換関係をおけば、Bohrの理論と同様に、飛び飛びのエネルギー準位があらわれてくることもわかった。」

　「もともと、Heisenbergのマトリックス力学は物質の粒子像を出発点にしている。その上、この理論は、粒子の発射する光と粒子の運動を直接むすびつけることを目的として作られた。しかし、飛び飛びのエネルギー準位は、粒子が光を発射する能力をもとうがもつまいが、それには無関係にあらわれるべきである。それどころかPlanckのもともとの考えによれば、光の振動のような、粒子でない対象についても不連続なエネルギーはあらわれるべきものである。また、上にのべたところによって、波動と考えた物質、即ちde Broglie波についても、飛び飛びのエネルギー準位はあらわれるべきものである。従って、座標や運動量が正準な交換関係を満足するマトリックスであるという点は、粒子であろうと波動であろうと無関係に、すべての対象に対して成立すると考えるべきである。−粒子に於いては、その位置（座標）や速度（運動量）がマトリックスであり、波動に於いては、その固有振動の振幅（(47.6)をみよ、そこのQnやPnのことである）がマトリックスである。−」

　「このようにして、マトリックス力学は、波動に対しても粒子に対しても一般に成立すべき法則だと考えるべきである。従って、われわれの次の課題は、このマトリックス力学をもっと発展させることである。一つはその数学的な方法をもっと取り扱いやすくすることであり、もう一つは、座標や運動量や、あるいはもっと一般的にいろいろな物理量がマトリックスである、ということの真の意味を明らかにすることである。」

　実際の歴史的経緯は以上とは若干違うのかと思いますが、朝永量子力学の展開が非常のわかりやすく述べられているのではないかと思います。次節からSchrodinger方程式の導出が述べられます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１３年２月１７日

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§４９　Schorodinger方程式　　２０１３年０２月１７日

　まず、本節の導入部です。朝永は本節における問題意識を述べていますが、たいへん重要なので、以下にそのまま記します。　「マトリックス力学が発見されたとき、人々はその成果に驚きながらその数学的不便さに手をやいた。この本ではPlanckの振動子の例を示したが、この場合はまだ何とかなった。しかし例えば水素原子の問題をマトリックス力学でやろうとすると、それは大変にぎこちないものであった。なほ困ったことに、マトリックス力学は非周期的な力学系に対しては全く無力で、例えば自由電子の運動などという最も簡単なものがこの方法ではどうにもならなかったのである。もともとこの力学は、座標や運動量が時間のFourier級数であらわされるような場合から出発したものだからである。ところが、やがて物質の波動論があらわれた。そして、前章の若干の例のように、波動論で得られた結果と、マトリックス力学で得られた結果とがしばしば一致することが分かった。今のところ１粒子問題の場合だけであるがこの一致は極めて著しいので、おそらく偶然のことではあるまいと信ぜられる。」　

　具体的な話は飛ばします。「即ち、１粒子問題に於いては粒子像に基づいてマトリックス力学を適用し、そのエネルギー準位Ｅnを求める代わりに、de Broglieの波動像に基づいてその波動方程式の固有振動数νnを計算し、そのｈ倍をとればよい。この結論が正しいとすれば、マトリックス力学の数学と波動方程式の数学との間には、何か密接な結びつきがあるはずだということになる。そして、この二つの外見上異なった数学の間の関係が明らかになれば、われわれは上の結論をもっと一般化することが出来るかもしれない。即ち、１粒子問題と限らず、また、粒子像に基づくと否とに係らず、一般的なマトリックス力学の問題は、ある種の微分方程式の問題に帰着できるであろう。但し、この微分方程式が丁度deBroglie場の方程式になるのは、上に書いたような特別な場合だけに限られるものかもしれないが。」

　”ある種の微分方程式”とはもちろんSchrodingerの方程式のことですが、Schrodingerが彼の方程式を、マトリックス力学とは全く関係なく、独立的に発見したということに注意する必要があります。マトリックス力学とSchrodingerの方程式が数学的に同等であるということは、後でSchrodingerによって指摘されました。したがって、上の話は歴史的経緯とは若干異なった話となっています。
　＊Schrodingerの方程式を”波動方程式”とよんでいる書籍もありますが、紛らわしく、混乱させるものと思います。”波動方程式”という言葉は、朝永が厳密に区別しているように、de Broglie波の場の方程式に限定するのがよいように思います。実は、私は当初この朝永の言葉の定義が分からず、本を読んでいて何度も混乱してしまいました。今ようやく分かりかけてきたところです。

　（１）マトリックスとヴェクトル　

　マトリックス力学について、ここでは取り上げるつもりはないのですが、話の流れ上必要になると思われるので、重要な部分だけ記述しておきます。それは、自由度が１の問題です。まず、与えられた力学系の座標をｑ、運動量をｐとし、そのハミルトン函数をＨ（ｐ,ｑ）とします。そこで先ず何でもよいが、次の式を満足する（そして時間に無関係な）二つのエルミート的マトリックスP、Qを持ってきます。

それをＨ（ｐ,ｑ）のｐ及びｑの所へ代入すると、一つのマトリックスＨ（Ｐ,Ｑ）が得られます。そこでこのマトリックスを用いて、次のような連立1次方程式を作ります。

すると、この固有値Wを求めると、それがその力学系のエネルギー準位を与えることになるそうです。この(49.6)は”マトリックス力学の基本方程式”といわれるものです。

　この後、マトリックスとヴェクトルの定義や公式など、数学の基本的なことが述べられていますが、省略します。

　（２）Hookeの法則に従う力に働かれている１次元の質点の問題

　標題のような例について考えていきます。このような場合の系のハミルトン函数とそのマトリックス力学の基本方程式は次のようになります。

　次に同じ問題を波動論で扱うと、問題は次のような微分方程式を解くことになります。

　ここで、１体問題だけを考えるので、(49.22)の固有値Ｅと、(49.20)の固有値Ｗとの間には、Ｗ = Ｅが成立するとのことです。そして、問題は、その由ってくるところがどこなのかということです。そして、この由ってくる所を明らかにしたのがＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒだったということです。即ち、Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒは（49.22)の方程式が次のように書けることを発見したということです。

　すると、マトリックス基本方程式(49.20)と比べてみると、次のような対応関係があることがわかります。

　この事実はただ方程式の形の類似だけではなく、Ｐに対応している （h/2πｉ）d/dxなる演算と、Qに対応している演算ｘとは、マトリックスＰ、Ｑと極めて似た機能を持っていることが想定されるということです。

　（３）１次演算子

　量子力学では、上に出てきた”(ｈ/2πｉ）ｄ/ｄｘ”や”ｘ”を演算子とみなします。即ち、”演算”、”演算子”という言葉を次のように使います。、任意の函数ｆ（ｘ）に演算子ｄ/ｄｘを施して新しい函数ｄｆ（ｘ）/ｄｘを得ることをｆ（ｘ）に演算子ｄ/ｄｘを掛けるといいます。また、任意の函数ｆ（ｘ）にｘを掛けて新しい函数ｘｆ（ｘ）を得ることを、ｆ（ｘ）にｘなる演算子を掛けるといいます。もっと一般的にいうと、任意の函数ｆ（ｘ）から何かの演算（Ａ）によって新しい函数ｇ（ｘ）を得るとき、次のように書き表します。
　　　ｇ（ｘ） = Ａ ｆ（ｘ）　　　　　(49.25)
ということで、上の”(ｈ/2πｉ）ｄ/ｄｘ”や”ｘ”は演算子ということになります。この後、演算子関連の定義等が続きますが、省略します。続いて、演算子（ｈ/2πｉ）d/dxと演算子ｘの性質が述べられています。そして、次のような交換関係が成立するということです。これはマトリックスの交換関係と類似しています。

　結論としては、次のようにいうことができます。即ち、「マトリックスＰやＱがヴェクトルηに対して持つ機能は、演算子(ｈ/2πｉ）ｄ/ｄｘやｘが函数ｆ（ｘ）に対して持つところの機能と全く同様である」といえます。また、(49.20)の中にあらわれたマトリックス
　　　{ (1/2ｍ)Ｐ2乗 + （κ/2)Ｑ2乗 }
がξに対して持つところの機能と、(49.24)の中にあられた演算子
　　　〔（1/2ｍ) {（ｈ/2πｉ）ｄ/ｄｘ }2乗 + （κ/2）ｘ2乗 }〕
のΦ（ｘ）に対して持つ機能が全く同一であるともいえるということになります。

　（４）直交函数系をなかだちとして函数とヴェクトル、
　　　　１次演算子とマトリックスを対応させること

　ちょっとこれからは数学的な話になります。朝永は次のように言います。「Sｃhrodingerの理論の土台になっているのは、直交函数系をなかだちとして函数とヴェクトルの間に、また、１次演算子とマトリックスの間に１対１の対応がつけられているという事実である。この対応こそ前節のもやもやした感じの具体化である。」

　まず、何でもよいから完全直交函数の系列として次のようなものをとります。
　　　χ1(q),χ2(q),・・・・,χn(q),・・・・　　　　　　(49.33)
ここに自変数ｑは実数としますが、函数χは複素数でもよいとします。そしてχはいづれも１に規格化されているものとします。更にここでしばらくは、ｑは-∞から+∞までのすべての値をとる変数とします。すると、任意の函数ｆ（ｑ）があったとき、その函数は上の直交完全系で次のように展開することが出来ます。

　このとき展開が可能であるためには、ｆ（ｑ）は(49.35)の積分がすべて収斂するようなものでなければなりません。このことは、通常、ｆ（ｑ）が無限大などにならないなら大丈夫であるとのことです。そのとき、(49.34)の右辺の級数が更に収斂するために、ｆ（ｑ）に対してある種の条件が必要であるということです。
　ところで、(49.34)と(49.35)とによって、数列η1,η2,・・・,ηn,・・・が与えられると函数ｆ（ｑ）が決まり、逆に函数ｆ（ｑ）が与えられると数列η1,η2,・・・,ηn,・・・が定まることになるそうです。このことから、函数ｆ（ｑ）とヴェクトルηとの間に１体１の対応がつけられるということが出来るそうです。この対応のなかだちの役目を(49.33)の完全直交系χがするということが出来るのだそうです。完全直交系の数学的意味もよく分からないのに（３次元レベルでは何とか理解はできていますが）、私にとってはすばらしい結論が得られたように感じます。感激です。ところが、このあたりからますます頭が付いていけなくなってきました。

　更に数学的に重要な規定の話があります。すなわち、函数ｆ（ｑ）にヴェクトルηとが対応しているとき、ｆ（ｑ）に１次演算子Aを掛けたAf(q)にはヴェクトルζが対応しているとします。そうすると、対応関係を定める式(43.35)によって、次式が成り立ちます。

途中の証明は省略しますが、ζは次のように表わすことができるということです。

　(49.39)の関係は、ζなるヴェクトルがηなるヴェクトルにあるマトリックスAを乗じて得られるということを示しています。だからどうなのという感がしないでもないですが、この関係はこれから重要な意味を持ってくるはずです。

　上の議論では、１次演算子Aが与えられたとき、それに対応するマトリックスが存在することを示しているそうです。逆に、マトリックスAが与えられたとき、それに対応する１次演算子が存在することも結論されるのだそうです。証明は省略しますが、これを次のようにいうことが出来るそうです。

　ふーむ！わかったようで、わかりません。もうひとつ、次のような説明があります。「このようにして、１次演算子とマトリックスの間には１体１の対応をつけることが出来ることになった。こうして、その対応は次のような性質のものである。」

　要するに、１次演算子とマトリックスが１対１に対応しているということでしょう。数学的な証明は全くわかりませんが、言っていること自体はわかりますので、これを受入れて進むしかありません。この後、１次演算子の和と積が、夫々マトリックスの和と積に対応していることが証明されますが、省略します。最後に、朝永の結論を記述します。

　いやー難しいですね。でもこれが量子力学を学ぶための数学の基礎ですから、できるだけ理解するように努めるしかありません。余談ですが、”ファインマン量子力学”では、このような数学の難しい議論はありません。だからといって”ファインマン量子力学”の方が”朝永量子力学”より理解しやしやすいといえるかというと、そんなことは言えません。要は、量子力学は並大抵の学問ではないということです。

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　（５）Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程式

　朝永は、冒頭で「以上の長い準備を終われば、問題の山は殆んど目の前に見えてきた。」などと言っています。とんでもない。私はますます混迷の「量子の森」に迷い込んでいく気持ちです。とても眼前に景色が開けてくるとは思えません。と言っててもしょうがないので、とりあえず進むことにします。

　Schrodinger方程式の導出をすべて記述することはできないので、ポイントとなる重要な式のみ記述していきます。まず、微分演算子（h/2πｉ・d/dq）と積演算子ｑとの間には、次のような代数方程式（交換関係）が成り立つとのことです（式(49.32'）参照）。

　任意の完全直交函数系χ1(x)、χ2(x)・・・をとって、これによって（h/2πｉ・d/dq）とｑとに夫々対応マトリックスを作り、これらのマトリックスを夫々Ｐ、Ｑと書くものとすると、マトリックスＰ、Ｑの要素は次のように表わされます。
　　　 Ｐnn' = ∫χn*(ｑ)（h/2πｉ・d/dq）χn'（ｑ）ｄｑ　　　　　　　　　(49.45)
　　　Ｑnn' = ∫χn*(ｑ) ｑχn'（ｑ）ｄｑ

　演算子（h/2πｉ・d/dq）とｑとの間には、式(49.44)が成立しているので、それぞれに対応するマトリックスPとQとの間には、同じ形の関係（正準な交換関係）が成立しているはずとのことです（式(49.4)参照）。

　これを言葉でいうと、（49.45）によって定義されるマトリックスPとQとの間には、”正準な交換関係”が成立するということだそうです。また、(49.45)で定義されたマトリックスＰおよびＱはエルミト的であるそうです。でも、私にはほとんど何を言っているのか分かりません。

　次に、マトリック力学の基本方程式（ハミルトン函数をＨとする）が提示されますが、そもそもマトリックス力学を省いてしまっているので、こちらもよく分かりません。

　そして、Ｈ(Ｐ,Ｑ)なるマトリックスは、H （h/2πｉ・ｄ/ｄｑ, ｑ） なる１演算子に対応するものであるといえるのだそうで、それを式で表わすと次のようになるのだそうです。

　そして、ヴェクトルξに対応する函数をφ（ｑ）とすると、ヴェクトルと函数との間の対応関係より、φ（ｑ）は次のように定義することができるそうです。
　　　φ（ｑ） = �馬ξnχn（ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(49.48)
　　　ξn = ∫χn*（ｑ）φ（ｑ）ｄｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(49.50)

　(49.46)のマトリックス力学の基本方程式に対応して、次の式が導かれるそうです。

　これは、マトリックス力学の方程式(49.6)を解くことは、とりもなおさず(49.49)の方程式を解くことと同等になったと言えるのだそうです。これはまた、マトリックスの方程式がたかだか２回の微分しか含まない、ニュートン以来の微分方程式で代用できることが明らかになったということです。朝永は次のように述べています。「これは大変うれしいことである。(49.46)は連立１次方程式であるが、通常その未知数は無限にたくさんある。こういう無限未知数を含む方程式の議論は物理学者にとってやっかいしごくの仕事であった。しかしそれが(49.49)のような微分方程式で事がすむとなると、あれよあれよという間にいろいろな問題がどんどん解けていった。方程式(49.49)はそれほど有用なものなので、その発見者の名をとってSchrodinger方程式とよばれ、量子力学にはなくてはならない大切なものとなったのである。更にその解φ（ｑ）をSchrodinger函数という。」

　やっほー！やっほー！とうとうSchrodinger方程式にたどり着きました。理解は不十分でも、やはりうれしいものです。FeynmanはSchrodingerのことを、彼の著書「量子力学　第�X巻」（p.232）において、次のような賞賛？の言葉で紹介しています。「シュレーディンガーが最初にその方程式を書きくだしたときには、ある発見的な議論と、ある素晴らしい直感的な推察に基づいて、ある種の導き方を与えた。彼が用いた議論の一部は間違ってさえいたのであるが、しかしそんなことは問題ではない。ただ重要なことは、その最終的にえられた方程式が、自然を正しく記述していることである。」　

　さらに、彼の著書のp334において次のようにも述べています。　「この方程式はシュレーディンガーの方程式とよばれ、それまでに知られていた最初の量子力学的方程式であった。この方程式は、この書物で述べてきた他のどの量子力学的方程式の発見よりも以前に、シュレーディンガーによって書きおろされたものである。われわれは、普通とは全く異なる道筋をたどって問題を考察してきた。物質の量子力学的記述の誕生をしるす偉大な歴史的瞬間は、1926年にシュレーディンガーがはじめてこの方程式を書き下したときに訪れたのであった。」　ふむふむ、Schrodingerは想像を絶する大天才ということのようです。それならば、もう少し勉強して、Schrodingerの方程式を理解しなければなりませんね。

　実は、Feynmanの著書でのSchrodinger方程式は次のような式になっていて、朝永の方程式と違うようにみえますが、朝永の方程式は標準座標を用いたハミルトニアンで表現しているということです。

　朝永は、今までに展開してきた微分方程式やその固有値、固有函数について、次のようにまとめています。　「前に43節で、微分方程式の固有値というものの話をしたことがある。即ち、微分方程式の中に一つのパラメーターが含まれていて、そのパラメーターがいくつかの特別な値をとるときに限り、物理的に必要な或る条件と或る境界条件とを満足するような解をその微分方程式がもつ、というようなとき、そのパラメーターのその値を、その方程式の固有値といい、その解を固有函数という。ところで、(49.49)の中にあるWがやはりこの意味で固有値の役をし、その解が固有函数である。即ち、Wがいくつかの特別な値をとるときに限り、(49.49)の解φ（ｑ）が物理的なわれわれの求めに応ずるのである。われわれの求めに応ずる、ということの内容をもう少し精密にいうと、そうして得られたφ（ｑ）が、§43での議論のように、完全直交系を作り、それが展開定理をみたすといってもよい。後にSchrodinger函数を物理的に解釈するときに、この種の展開というものが基本的に重要な物理的意味をもってくるので、この定理の成立しないような解は、全く物理的には意味のないものと考えねばならない。即ち、裏から言って、展開定理をみたすような完全直交な解こそ、われわれの求めるものだ、ということになる。」

　「それでは、φ（ｑ）がどんな条件をみたせば展開定理が成立するか、という数学的な問題が次に起こってくる。これは、一般論でやるとなかなかやっかいな問題であるが、後に述べるように、Schrodinger方程式はしばしばde Broglie波の場の方程式と全く類似した形のものになるので、そういう場合には§44の最後に述べた条件を以って直ちにφ（ｑ）に課すべき要求と考えてよい。また、われわれの自変数ｑの変域が-∞から+∞にわたる全体であるとしたが、そうでない場合も起り得る。そのときには、変域の端における境界条件が問題になる。しかし、この境界条件はここの問題に於ける物理的な条件によっても具体的に考えねばならないものであり、またその用いた変数が何であるかにも関係するものである。従って境界条件については一般的に論ずることはできない。」

　以上の議論は、自由度１の場合でしたが、続いて自由度が（2以上の）ｆの場合を取り上げています。しかし、自由度１の場合でもよく理解できていないので、自由度ｆの場合については省略します。ただし、自由度ｆの場合のマトリックス力学の基本方程式とSchrodinger方程式のみ掲げておきましょう。

　最後に、朝永は次のように締めくくっています。「こうして、自由度がいくつあってもSchrodinger方程式を作ることができるが、このとき座標ｑ1,ｑ2,・・・,ｑf と運動量ｐ1,ｐ2,・・・,ｐf とは、正準座標と正準運動量とであれば一応何であってもよい。即ち、ｑは粒子の直交座標である必要はもちろんないし、また粒子の位置の座標と限る必要もない。更にまた、問題にする力学系も、正準座標と正準運動量とで記述されるものなら粒子系であろうとなかろうと少しもかまわない。即ち、この章のはじめに述べたように、電磁場や、de Broglie場であっても、それに対してSchrodinger方程式を作ることが出来、また、そうすることによって始めて光や物質波に粒子の性質を与えることが出来るのである。こうしてこのとき力学系が電磁場であるなら、ｐやｑとして附録�Wで導入した正準変数を、力学系がDe Broglie場であるなら、ｐやｑとして前章§47で考えたものを用いるのである。」

　ふーむ、なんだかよく分からないけど、Schrodinger方程式の導出が終わったようです。ところで、恐らく、いや間違いなく、Schrodingerが朝永が導出したような手順で彼の方程式を発見したわけではないはずであるということに言及しておきます。朝永の導出は、マトリックス力学との対比の中でSchrodinger方程式を導き出したということです。恐らくそれが一番論理的であると考えたのでしょうが、数学知識の少ない者にとっては、かなり難しい議論の勧め方に思えました。また、Feynmanも独自の方法でSchrodingerの方程式を導出しています（Feynmanは、Schrodinger自身は発見的方法で方程式を得たと言ってます）。こちらが分かりやすいかどうかは疑問ですが、少なくともマトリックス力学などが出てこないだけ、ややわかりやすかったような気もします。少し、「量子の森」の中で迷路に入り込んだので、もう一度本章の始めに戻って、読み直しをしようと思っています。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１３年２月２７日

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　（６）二、三の例

　これからは、具体的な問題をSchrodinger方程式を使って解いています。ただし、原則重要な式だけを記すことに留めます。

（�@）　Ｈｏｏｋｅの法則に従う力に作用された質点

　ところが、この方程式は物質の波動論で議論したde Broglie場の方程式（49.22)あるいは(49.24)と全く同じものであることが分かります。

（�A）　１個の質点の場合

　この例でも、この方程式とde Broglie場の方程式（39.2)とが全く同じ形をしていることが分かります。朝永は次のように述べています。「この方程式の意味は全く異なっていても、こうして方程式の形が同じであることは、１粒子系のエネルギー準位と、それの波動論における固有振動の振動数の間に(49.3)の関係（Ｅ = ｈν）が一般的に成立していることを示している。このようにして、145頁に述べた予想がはっきりと、かつ一般的に証明されたことになる。この事実から、例えば水素原子に於いて、そのエネルギー準位は、前の§42で得られた値をそのまま用いてよいことの根拠が明らかになったのである。」　なお、実際の固有値は、ポテンシャルＶ（ｘｙｚ）が決まらないと求まりません。

（�B）　２個の質点の場合

　この方程式を見て明らかなことは、２個の粒子の場合、Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ函数φはｘ1ｙ1ｚ1、ｘ2ｙ2ｚ2 という6個の変数の函数となります。従って、この場合Schrodinger方程式はde Broglie波の場の固有振動の振動数Ｅ（= ｈν）と直接関係づけるわけにはいかないのだそうです。系のエネルギー準位を求めるには、自変数6個の方程式(49.64)をあらためて解かなければならないということです。しかし、§41や§42でやったように、変数分離を用いれば解くことができるということです。それは次のようになります。

　この結果は粒子が多数存在する場合に一般化することができます。ここでは式は省略します。ただし、互いに作用しあっている粒子のあつまりに対しては、Schrodinger方程式とde Broglie場の方程式とを簡単にむすびつけることは出来ないということです。

（�C）　de Broglie場

　§47（波動量子化の必要」で、de Broglie波を正準変数Ｑn、Ｐnを用いて記述できるという話がありました。そこで、de Broglie場のHamilton函数とSchrodinger波動方程式は次のように書くことが出来ます。

　座標Ｑ1,Ｑ2,・・・は無限個存在するため、Schrodinger函数φ（Q1Q2・・・）は無限個の変数を持つ函数です。このとき、函数φのことをSchrodinger汎函数とよぶことがあるそうです。これを解くには、例の変数分離を使えばそれほど難しいことではないと言ってます。

　夫々の方程式は、(49.59)と同形であり、従ってその固有値はおなじみの？もので、次のようになります。

　こうして、de Broglie場のエネルギー準位が飛び飛びの値を得ることが導き出されたわけです。そして、量子数Ｎsがとりもなおさず粒子の個数と考えてよいことになります。

　朝永は、最後に次の注意を与えて締めくくっています。　「しかしここで次のことを注意しておかねばならない。即ち上のようにして、波動像から出発しても、粒子像から出発しても、同一のエネルギー準位を得たが、まだ二つの理論が全く同等であるとはいえないことである。実際、今まで導入した以外にもう一つ粒子の統計性に関する新たな仮定を入れなくては、二つの理論は全く同等ではない。この点については後にくわしく論ずる。」
　「もう一つ注意することは、どちらの像から出発しても同一のエネルギー準位を得るという上の推論は、そのままでは粒子間に相互作用のある場合には用いられないことである。粒子間に相互作用がある場合には、もっと面倒な議論をしなければならない。それについても後にくわしく論ずるであろう。」　さあ、更に匍匐前進！えーい、どうにでもなれ！。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１３年３月２日

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§５０　Schorodinger方程式とde Broglie波の場の方程式　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１３年０３月１１日

　ここで、問題の整理に入ります。すなわち、Schrodinger方程式とde Broglie波の場の方程式において、一部の問題において方程式の形式が一致しているという事実についてです。しかし、この二つは、形式が全く同じでも、概念的には全く別のものであるということです。実は、当初私も朝永量子力学を読んでいて、あるところで説明があった内容が他でも同じような説明があり、途中で頭の中が混乱し、何度か挫折した次第です。どうも、このあたりの認識が十分にできていなかったからのようですね。ということで、ここは朝永量子力学を理解するうえで大切なぽいんとなので、少し長くなっても、引用をしていきます。

　まず、問題提起です。「われわれは極めて注目すべき結果、即ち、１粒子問題に於いては、Schrodinger方程式の形と、de Broglie波の場の方程式の形とが全く一致するという結果を得た。この事実こそ、１粒子問題に於いて何故粒子像でも波動像でも同じ答えが得られるか、という疑問の答えがあったのである。こうしてまた、多粒子問題においても、粒子間に相互作用がないという簡単な場合に限ってであるが、ある程度、同様な疑問に対して答えが得られた。　Schrodinger方程式とde Broglie波の場の方程式とが同じ形をとることから、量子力学が発見されたはじめのころは、この二つの方程式が全く異なる概念に属するものであることが物理学者によくわからなかった。そこでしばしば混乱や無用の論争が起こったのである。実際Schrodinger自身も始めのうちこの二つの方程式を明瞭に区別しないで数学的理論を展開して行ったので、ひとびとはde Broglie場の方程式（39.2)をもしばしばSchrodinger方程式という名称でよぶ。しかし、この書物では二つの方程式の概念的区別を明瞭にするためにこのよび方を意識して避けた。」　このような配慮にもかかわらず、私の読解力不足で、似たような方程式で混乱してしまったのですね。このあたりのことを、最初に注意喚起していてくれればわかりやすかったのにと思うのですが、それはそれで何のことか分からなかったでしょう。

　以下の説明で出てくる重要な方程式（以前の説明で記述がありました）をここに掲げておきます。

　「方程式(39.2)と（49.62)とは形が全く同じであっても概念的には全く別のものであることをここでもう一度くわしく注意しておこう。de Broglie波の場の方程式(39.2)の中のΨ(xyz)は、実際の空間内にひろがる場を記述する函数である。この対称になっている力学系はその場であり、Ψ(xyz)は場を記述する座標である（§47ではΨの展開係数を場の座標と考えたが、Ψ(xyz)それ自身を場の座標と考えても一向さしつかえない）。このΨ(xyz)は場を記述する座標であるから、それ自身後にはマトリックスと考えるべきものであっても、もし未だΨ(xyz)をマトリックスと考えていないなら、（39.2)は量子には縁のない古典的な場の方程式にすぎない。従って、(39.2)の中にある固有値Ｅは、固有振動のｈ倍という意味のものであって、決してエネルギーではない（式の中に見かけ上ｈが入っているのは、Schrodinger方程式との比較をするためであって、(39.2)はもともと(39.3)のように、ｈを含まない形に書くべきものである）。このEがエネルギーになるというのはΨ(xyz)をマトリックスと考え直し、しかも量子数１の状態だけを問題にしたとき（即ち１粒子問題の場合だけ）である。これに対して、Schrodinger方程式(49.62)は全く量子力学的なものである。その固有値Wははじめからエネルギー準位である。この方程式は全く量子論から導出されたものであるから、φ(xyz)をこの上更にマトリックスと考えるなどということは無意味である。φ(xyz)は古典的な場とは全く別ものである。」

　再度前に述べたものと同じ感想になりますが、私の大きな混乱がようやくわかってきたので、再び述べます。私の混乱の理由の一つは、Schrodingerの方程式を”Schrodingerの波動方程式”と考えていたところにあったようです。Schrodingerの理論を”波動力学”といったり、函数”Ψ”を”波動函数”といったりするものですから、方程式もすっかり”波動方程式”といってもよいと思っていました。それで、Schrodingerの理論も”波動像”に基づいているものと勘違いもしていた所があるようです。Schrodingerの方程式は”粒子像”に対する方程式ということで、偶然特別な場合に場の波動方程式と一致したということだったのです。ようやく”波動像”、”粒子像”の意味が少しわかりかけてきました。それにしても、Schrodingerの理論はde Broglieの物質波（波動方程式）を発展させたものとか、”Schrodingerの方程式”を”Schrodingerの波動方程式”、というといった記述をした書物があるのは、混乱を招くようですね（函数”φ”を”波動函数”とよぶのはよいようですが、Feynmannのように”確率振幅”とか”状態函数”とよぶのがわかりやすいような気がします）。

　朝永は続けます。「Schrodinger方程式とｄｅ Broglie波の場の方程式とが全く別ものであることは多粒子問題のときを考えれば更に明瞭になる。簡単のために、2個の粒子の場合をとるなら、前節の(49.64)に示されるように、Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ函数φはx1y1z1、x2y2z2という6個の座標の函数である。従って、このφは実際の空間内に実在する場を記述するものとは考えられない。これに対して、２体問題を波動論によって取り扱う場合に土台になるのはやはり（(39.2)の形の方程式である。このとき2個の粒子の問題であるという事がらは、Ψ（xyz)をマトリックスと考えて波動を量子化し、量子数2の状態をとるという手つづきによって始めて考慮の中に取入れられる。そのときΨ(xyz)は粒子の個数にかかわらずあくまで三つの座標ｘとｙとｚの函数である。ここに座標ｘとｙとｚといったが、ここでもφの中の座標と概念的な区別が明瞭である。すなわちΨの中のｘｙｚは空間内での場の量の測られるべき場所を示す座標であるが、φの中のｘｙｚは、われわれの対象であるところの質点の位置を示す座標である。」
　
　更に、粒子の間に相互作用のある場合のde Broglie波の場の方程式とSchrodinger方程式の大きな相違がのべられます。結論をいいますと次のようになるそうです。「粒子の間に相互作用があっても、Schrodinger函数は常に１次であり、従ってSchrodinger函数に対しては重ね合わせの原理が常に成立する。これに反しde Broglie場の方程式では、相互作用があるときは１次でなくなり、従って、de Broglie場については重ね合わせの原理が破れる。更にもう一つ、二つの方程式の間の区別としてSchrodinger方程式の対象となる力学系は、全く一般的であり、またその方程式に用いられる座標q1q2・・・qjは全く一般的であって、Hamilton力学における意味での正準座標なら何でもいいことである。これに対し、de Broglie場の方程式の対象はただde Broglie波であり、その方程式中の座標は、常に空間の場所の座標でなければならない（直交座標に限る必要はさらさらないけれども）。Schrodinger方程式は空間の場所というものと何の関係もない力学系、例えば抽象的な電気振動というようなものについても成立するし、また前節（�E）の�Cの例のようにde Broglie波の場を量子的に取り扱うときにやはり現れてくるものである。」

　最後に次のように結ばれています。「これでSchrodinger方程式とde Broglie波の場の方程式との意味の違いは十分明らかになったことと思う。そして１粒子問題以外はの粒子系では、Schrodinger方程式とde Broglie場の方程式とは全く異なる形をしていることをわれわれは学んだ。従って、この場合に、波動論で得られる結論と、粒子論で得られる結論とが果たして一致するか、という疑問にはそれほど簡単には答えられない。それに答えるためには、de Broglie波の量子化の理論をもっと発展させねばならない。これについては後に論ずる。」　はあ、よろしくお願いします。

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§５１　Ｈeisenbergマトリックスの構成　　２０１３年０３月１１日

　本節では、マトリックス力学とSchrodinger方程式、Schrodinger函数の関係が議論されます。しかし、私の「朝永量子力学」では、第�T巻のマトリックス力学を省略しています。したがって、ここでマトリックス力学との相違を述べるのはできないので省略します（実際はマトリックス力学が分かっていないので、省いたにすぎませんが）。項目だけ掲げておきます。

（１）おさらい

（２）Schrodinger函数をなかだちとしてマトリックスを作ること

（３）二、三の例
（�@）　Planckの振動子
（�A）　中心力場における１個の粒子の場合　選択規則

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