あと数日で、今年が終りますね

ある程度の人数が集まっていて、
その中で同じ誕生日の人がいる確率が 1/2以上になるのは、
何人以上集まった時か。

という有名な問題があります。
直感的に考えると、１年は365日だから、半分の183人以上必要なような気がしますが、
確率を計算すると、実際は23人以上集まれば条件が満たされることがわかります。
これはどこにも矛盾はないのですが、23人という数字が183人に比べて小さいので、
直感に反するという意味で Birthday Paradox と呼ばれています。
読者から質問があり、簡単な解説を書いてみました。

ところで、恩田陸を読んでいて気が付いたことがあるのですが、
この人は「海辺」「母親」に対するトラウマのようなものでもあるのでしょうか。
ちょうど、ＤＱシリーズで「父親」だけが特別視されているように。
（ＤＱの方もトラウマなのかどうかは知りませんが）。

• "The Best of YES (1970 - 1987)"

  日本だけのベスト版。
  "America" のアレンジが "Yesterday's" に比べて妙に短いので違和感がある。
  "Siberian Khatru", "Sound Chaser", "On the Silent Wings of Freedom" と
  YES らしいプログレハードナンバー続けて聞けるというのがうれしい。

• "クリムゾン・キングの宮殿"

  いつかＣＤを手に入れようと思っていたが、やっと念願がかなった。
  これを聴くと、２・３日は『風に語りて』のフルートが耳から離れない。

あと、ちょっと前の話になりますが、ロンドンで買ってきたやつ。

• Rick Wakeman, "White Rock II 1999"

  「何これ！（そんなものがあったのか！）」
  と、ファンなら無条件で買ってしまうであろう１枚。
  残念ながら中味は "White Rock" の影も形もない。
  （最近の Renaissance が、昔の Renaissance ではないように）。

  ところで "White Rock" といえば、

  別にサントラではなく、
  映画のＬＤそのものを買ってしまえばいいじゃないか

  と思い付き、ちょくちょく探してはいるが、残念ながら見つからない。

• Renaissance のライブは買い逃し。
  （まさか日本で売ってないとは思わなかったもので）

• Mr. Pedersen, http://www.vejlehs.dk/staff/jmp/aliquot/tables.htm
• Mr. Weisstein, http://www.treasure-troves.com/math/AmicablePair.html
• http://www.treasure-troves.com/math/Breeder.html
• Mr. Moews, http://xraysgi.ims.uconn.edu/amicable.html#sociable

これらの exhaustive search の結果は te Riele の計算結果の遥か上を行っていて、
無謀な計算に突入する前にこれらの結果を知ってよかったとつくづく思いました。

ついでに Weber class polynomial も実装。IEEE P1363 に出ているのをそのまま。
結果は 5000（−5000）まで。
ただし、こちらの方はＤの値によっては全然収束しないものあり。

どちらも、かなりサイズが大きいので（Hilbert class polynomial の方は８MB、Weber は 4.5MB）
圧縮してアップロードの予定です。

5000〜6000の分割数の素因数分解結果が、未解決が50個以下になったので、そろそろ公開します。 桁数的には私の環境で分解できる範囲なのですが、もう１日に１個ぐらいのレベルに来ているので、 完全分解は年内ぎりぎりになると思います。

類多項式（ヒルベルト類多項式）の計算結果。
今のところ、定義どおりの計算方法で算出しています。すなわち、

1. 判別式が D となるような２次形式を探す。
2. その２次形式を、２次方程式と思って解く。
3. その解（虚部が正となるもの）を、モジュラー変換で基本領域に持っていく。
4. その基本領域の値をαとし、j(α)を計算。
   （ここで、昔計算した楕円モジュラー関数の係数を利用できる）。
5. X-j(α)を順に掛けていく。
6. 最後、係数は整数となることが保証されているので、近い整数に丸める。

この方法の場合、定数項は j(α) の掛け算になるので、j(α) の計算精度がもろにきいてきます。 （正確に云うと、j(α) の小数部の絶対値が大きいときに、誤差が大きくなる）。 これの打開策としては、今のところ、

1. 小数点以下の桁数を十分（かなり）大きくとる
2. j(α) の項を多くとる

というエレファントな方法しか思いつきません。
（それでも、−３ 〜 −1000 の範囲で、８個計算できないものあり。）
都立大の ftp サイトに −３ 〜 −1200 の結果があるので、
−３ 〜 −10,000 を目標としています。

このような計算は、今更やっても成果としては認められませんが、誰かがやらなければ exact な値はわからないし、かつ、このような計算は、理論を理解して、 プログラムを組むまでのハードルが高いので、ごく一部の人間しかできません。
そういう意味で、このような計算はやる意味があり、かつ、プロがやらないとすれば、 アマチュアがやるしかないでしょう。
論文として発表される場が無いとすれば、やはり Web がそれを公表するに適当な場所 ということになります。一度、このような計算を行われ結果が公表されれば、 後に計算する人が、検算のために使用できるようになります。
また、具体的な値がないとわからない、という初学者のためにも有効です。

更に云うなら、類多項式は、楕円曲線暗号を構成する時のパラメータを選択するためにも使用できます。 従って、類多項式の計算は、実用的な面からも価値があります。

φ(n)＝36 の系列で 114 と 126 は、元の円分多項式が、苫米地氏作成の SNFS
（４次の多項式を使用）を適用しにくいような形をしています。これが使えないとなると、
ECM で幸運を頼るか、PCを集めて２週間〜１ヶ月ぐらいかけて PPMPQS で分解するぐらいしか手はありません。
先週 Alpha マシンを使うチャンスがあり、ECM4a で 114 と 126 系列を回したところ、
なんと１日にして (126 754) の因数 166757880838950547285733655769 (p30) が見つかりました。
去年114を、残り180個ぐらいの時１ヶ月まわして１個も見つけられなかったことを思うと、
夢のようです。速さにすると Pentium MMX 機の 10倍ぐらいは出ています。

一方、苫米地 SNFS については、(100 255) に挑戦したところ、２日ぐらいのふるいの後に、
「sorry, I cannot solve it.」のようなメッセージが出て停止（無反応）。
(55 186) に挑戦したところ、こちらは２日ほどでふるいは終了したものの、
連立方程式を解くところで、base が17500ぐらいで、メモリ使用量が 37500 KBと表示されて、
その後のかっこの中の数字の伸びが、２時間で50ぐらい（i.e. 17500全部で700時間）だったので、 敢え無く挫折。こちらの方は要するにメモリ不足による swap 多発が原因なので、
いずれメモリを増設して再挑戦しようと思います。

とにかく、36系列の SNFSが使える系列について、どのぐらいのハードのPCで、
どのぐらいの時間ならできるかを示して、残りの分解を一気に加速したい。

これは、ＳＦ研の夏季合宿で各自１編ずつ書いて持ち寄る、 ということで、苦し紛れに一晩で書いた20枚弱の作品で、 当時はワープロもないし、コピーは金がもったいなかったので原稿は残っていません。 部室にはあるのかも知れませんが、今となっては、１から書き直した方がましなレベルの代物です。

タイトルは『平和的共存』。簡単にストーリーを説明すると……

まず、主人公の元に深夜、電話がかかってくる。
原発に隕石が直撃した、という所長からの電話だが、
あまりの内容に現実とは思えず、また、そのまま寝入ってしまう。

翌朝、新聞を見て、本当に事故が起きていることを知り、現場の近くに行こうとする。
既に、半径10キロ以内の住民は強制避難になっており、あたりは静かだが、
なんとなく様子がおかしい。
まず、自家用車にはガイガーカウンタを付けているが、いつもと同じ反応。
検問でも、職員だということを告げると、あっさり通してくれる。
近づくにつれて異常が判明する。
建物はほぼ全壊だが、放射能は全然漏れていないのである。
……

で、長くなるので以下は省略しますが、20枚弱という枚数で、この後、
放射能漏れの無い理由、それが原因で起こる、もっと根本的な大問題、
それに対する複数の解決策とそれを巡る主人公（技師）と所長（体制と組織の板挟み）の対立、 そして、主人公がとった行動、ということでちゃんと完結しています。

それから所長の取った行動。
私のストーリーでは、早い段階で収束宣言が発表されますが、
これは混乱収束のための政治的判断で、実際には問題は解決しておらず、
それが原因で、主人公は最後に組織と袂を分かちます。

今回も翌日には収束宣言が出され、その後の報道のなされ方も似ています。
（と書くと、まるで現実にも問題のあるような含みですが、今度の場合は、
　私の小説のように壊滅的状態になっている訳ではないので、正しいと思います。
　（Ｗｅｂでの発言は社会的責任を伴うので、一応フォローしておきます。
　　別に煽ることは目的にしていないし、誰かを中傷したり非難したりする気もありません。））

ただ、あまりにも早過ぎるし、放射能汚染に対する処置がこういうものでいいのか、
という、初歩的なレベルでの疑問も残ります。
調査の進行と共に、どのように事態が解明されて行くのか、興味深いところです。

『表紙の言葉』は今後とも1000回単位で更新していこうと思います。
１作家１回のみ、という制約はキツイので取り払うことにします。
（できるだけ挑戦しようとは思いますが）

『どちらかが魔女』のクイズは、『幻惑の死と使途』の萌絵の手品と同じで、
トリックでもなんでもないが、ある一面から見れば、理由がわからない、という例の一つ。
この話自体は知りませんでしたが、聞いた瞬間に理由は思い付きました。
ただ自分の知っている範囲で云うなら、デューラーは別の方法でやったし、
ダ・ヴィンチならこうする必要はなかったのではないのか、というのが第一感です。

「4000までは完了」と書いてから、4001〜5000の1000個を分解するのに、
約１ヶ月近くかかったことになります。
予定としては１万までやるつもり。
ただし、RSA Factoring Challengeには、現時点では挑戦するつもり無し。

という訳で、本日は Allan MacLeod からのレポートです。 中には因数40桁越えもあります。
対象となっている数が特殊数体ふるいにはのらないような形で、 かつ桁数的にも複数多項式はぎりぎりのところなので、楕円曲線法か一般数体ふるいということになりますが、 どちらでやったとしてもすごい。

彼は、現在３６歳ということですが、日本人の目から見ると、もっと年上で、 ほとんど大学教授のように見えます。 数年前、前の仕事で少し収入があって、それをきっかけに仕事もかわり、 再び数学の勉強も始めたそうです。 PCを買って、最初、Visual Basicで多倍長のライブラリを作ったが、 その後 Ubasicを知って、６倍速いのに驚き、それ以降は UBASIC 一本のようです。

素因数分解は、最初 b^n +- 1 (b=2, ... 10) を分解していたが、 そのうちに Cunningham Project の存在を知り、 ｂを11から99の範囲にしたら、今度は Web で Brent の ftp サイトの存在を知ってしまい、 ｂを100から1000にしようとして、Paul Zimmerman のページから円分数の存在を知った、 ということです。

分解アルゴリズムは 主に p-1 と p+1 。 p-1 はUBASICに添付されていたものを修正して、B1=250000, B2=B1*100にしたもの p+1 は自作。 Cohen の"A Course in Computational Algebraic Number Theory" が私のバイブルだと云っていました。

５時間ぐらいの間、英語で話していることを忘れるぐらい、ほとんど、 先日の飲み会のような盛り上がりようでした。

最後、渡した『円分数の素因数分解（その４）』に、「サインしてくれ」というので、
英語と日本語でサインしましたが、
私のサインなんかもらって、どうしようというのでしょうか。

すごい！すごい！　なんだか、すごいぞ！

講究録は、本郷の「マテマティカ」「友隣社」で発売中です。

1000000以下で発散しそうなものについては、10000桁まで、だいたい24000回づつやって、 全て、収束しないことを確認しました。

13桁になったら、かなり進捗が遅い。
digit=13, n=1000006412206, count=186
というのが見つかりました。13桁の前半では、もう少し見つかりそうな気がします。
ただ、13桁全数調査はかなり時間がかかりそうなのと、これまでの傾向から、
偶数桁の時は記録更新がないので、この後続けるのはかなり難しそう。
例えば視点を変えて、1000000以下で発散しそうなものについて、1000回ずつやってみる、 というのを一応見ておいた方がいいかも知れない。

２年前、初めの頃は、ほぼ毎日更新していました。
１日のアクセス数は２件。
１件は自分で、もう１件は、更新のためのftp。

「有限回で収束」は、９桁以上では、

100239862（97回）
140669390（98回）
1005499526（109回）
10000442119（112回）
10000761554（113回）
10000853648（131回）
10000973037（135回）
10031199494（147回）
10087799570（149回）

11桁ではこれが最高。
12桁でもこれが最高です。
13桁は２日ぐらいあれば検証できると思います。
14桁は、その倍。15桁は、更にその倍。

ただ、思った程、性能は出ていません。
やはり桁が大きくなるにつれて、桁数いっぱいまで足し算を必要とする数 が多くなってしまうためでしょう。

ＣＤ３枚。

松浦有希 『invisible circle』

この季節、ひじょうに爽やかでいいです。
残念ながら『トランスパランス』のセルフカバーは入ってなかった。
（それを「残念」と思う人は、いるんだろうか。）

Bill Bruford's Earth Works, "A part, and yet apart"

Jazzというよりも、クロスオーバー（って、ひょっとして死語か？）。
これも、何時間聴いていても飽きないような感じ。

Annie Haslam, "Live Under Brazilian Skies"

"The Captive Heart" の丁寧なpianoも、初めて聴いた時の感動を思い起こさせるが、
"Seashell Eyes"最高。
Renaissance を最初に聴いたのは、"Live at Carnegie Hall" の中の "Ocean Gypsy" で、 ラジオからあの声が流れてきたとき、「この世にこれほどまでに美しい音楽があったのか」 と完全に聞き惚れて、ため息しか出なかったが、今回の"Seashell Eyes"も、 ほとんど、それに匹敵します。 だまされたと思って、聴いてみるべきでしょう。 これほどの名曲には、そうそう出会えるものではありません。
"Seashell Eyes" の次の "Summon The Angel" もよい。