自然数nの約数の和をσ(n)とする。 異なる2つの自然数m、nについて、各々の約数の和より自分自身を引いたものが、 互いに他方と等しくなる時、すなわち、
σ(m)-m=n
σ(n)-n=m
が成り立つ時、これら2数を友愛数(または親和数)と呼ぶ。
例えば、220 と 284 は、この条件を満たす。
上記条件は、
σ(m)=σ(n)=m+n
と同値である。
約数の和から自分自身だけでなく、自明な約数である1も引いた値が、 互いに他方と等しくなる時、すなわち、
σ(m)-m-1=n
σ(n)-n-1=m
が成り立つ時、これら2数を準友愛数(または婚約数)と呼ぶ。
例えば、48 と 75 は、この条件を満たす。
上記条件は、
σ(m)=σ(n)=m+n+1
と同値である。
上記条件を、
σ(m)=σ(n)=m+n-1
と変更した場合、この条件を満たす2数を拡大友愛数と呼ぶ。
例えば、6160 と 11697 は、この条件を満たす。
ここでは、2数のうち小さい方が1010以下の 友愛数、準友愛数、拡大友愛数、の組を全て求める。
この問題の意味するところを理解するために、以下の解を求めてみて下さい。
[1] Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (Third Edition), Springer, 2005.
[2] H.J.J.te Riele, Computaion of All the Amicable Pairs Below 1010, Vol.47, Num.175, July 1986, 361-368
[3] Herman J. J. te Riele, On Generating New Amicable Pairs from Given Amicable Pairs, Mathematics of Computations Vol.42, Num. 165, Jan. 1984, 219-223
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10章 合同数(congruum) |
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