＃７　ちょっと抜けてる数

放送で紹介された内容

12345679。８が抜けている。このちょっと抜けた数に意外な秘密が 12345679に８を掛けると、98765432。１以外の数が並ぶ 12345679に９を掛けると、111111111。１が並んだ

数学的なバックグラウンド

この数は、 １　永遠に回り続ける数で紹介された 81 と関係があります。
具体的には、分数 1/81 を計算すると、

1/81＝0.0123456790123456789...

のように循環小数となり、その循環節の中に、12345679 という数字が出現します。
循環節が９桁（８が抜けているが、循環節は０から始まっているので、桁数は９桁）なので、
これを分数に直す時は、99...99（９を９個並べる）を分母とし、循環節の 012345679 を分子とし、
約分して既約分数に直します。結果は当然、

12345679／999999999＝1／81

となるはずです。この式の両辺の分母を払うと、

12345679×81＝999999999

左辺の 81 は９で割り切れ、また、右辺も明らかに９で割り切れるので、両辺を９で割ると、

12345679×９＝111111111

となり、２番目の性質の理由が判明しました。
しかし、１番目の理由は、「計算したらそうなった」としか言いようがありません。

111111111−12345679＝98765432

というのは計算すればわかりますが、循環小数のような、明確な理由はありません。
これは本当によく見つけたと思います。

さて、

12345679×９＝111111111

の式において、右辺は、１が９個、つまり、111が３個づつ並んでいるので、
＃２　３ケタのゾロ目を斬るシャープな数の時に紹介したように、
右辺は 111 で割り切れます。更に、この 111 は 37 で割り切れます。
右辺が 37 で割り切れる、ということは、左辺も 37 で割り切れるはずです（∵　両辺が等しいので）。
９は 37 では割り切れないので、12345679が37で割り切れるはずです。実際に割ってみると、

12345679／37＝333667

となり、確かに割り切れます。この 333667 は素数なので、12345679 の素因数分解は、

12345679＝37×333667

となります。
ちなみに似たような数、123456789（８も入っている）の素因数分解は、

123456789＝3×3×3607×3803

となります。