＃２　３ケタのゾロ目を斬るシャープな数

(2006/4/12)

放送で紹介された内容

37は特別な数。
  • 111を37で割ると３。割り切れる
  • 222を37で割ると６。割り切れる
    ...
  • 999を37で割ると27。割り切れる
結局、37は、111〜999、３桁のゾロ目の数全てを割り切る。

数学的なバックグラウンド

37が111の約数なので、111の倍数である222〜999が37で割り切れるのはあたりまえの話です。
それよりも、111という 1 だけが並ぶ数の約数に着目してみます。

桁数が偶数の場合、11及び、11...11（１の個数が半分）で割り切れるのは一見して明らかです。
また一般に桁数が合成数の場合、１の個数が桁数の約数となっているような１並びの数
11...11 で割り切れるのも一見して明らかです。
言っている意味がピンと来ないかも知れないので、実例を示すと、

桁数が偶数の場合

例えば６桁 111111 の場合は、

      1 01 01
   -----------
11 ) 11 11 11    ...    111111 / 11 = 10101


        1 001
    ----------
111 ) 111 111    ...    111111 / 111 = 1001

のように、11 (2桁), 111 (3桁) で割り切れる。

桁数が合成数の場合

例えば12桁 111111111111 の場合は、

      1 01 01 01 01 01
   --------------------
11 ) 11 11 11 11 11 11


        1 001 001 001
    ------------------
111 ) 111 111 111 111


          1 0001 0001
     -----------------
1111 ) 1111 1111 1111


              1 000001
       ----------------
111111 ) 111111 111111

のように、11 (2桁), 111 (3桁), 1111 (4桁), 111111 (6桁) で割り切れる。

桁数が素数の場合は、上記のような自明な約数が無いので、実際に素因数分解するしか手がありません。
結果のみを示すと、

11...11のように１が並ぶ数を repunits と呼びます。
ｎ桁の 11...11について、

11...11 * 9 = 99...99 = 10^n - 1

なので、

11...11 = (10^n-1)/9

と式で表すことができます。
この repunits 及び、その素因数分解結果については、 こちらに掲載しています。 例えば、

  11...11 (101桁) =
4531530181816613234555190841 *
129063282232848961951985354966759 *
18998088572819375252842078421374368604969

なので、

というようなことも言えます。
（「割り切れる」という事実よりも、101桁の数を素因数分解したことの方がすごい）

また、11...11 = (10^n - 1)/9 という式を求める時に使った計算のテクニックを使うと、
他の特殊な形をした数についても式を求めることができ、例えば、
1010...101 という数については、

  1010...101 * 99
= 99...99 (99が整数個 = 9が偶数個)
= 10^2n - 1

なので、

1010...101 = (10^2n - 1)/99

もっと一般に abab...aba という数については、

abab...ab / ab = 1010...101 = (10^2n - 1)/99

より、

  abab...aba = 10 * abab...ab + a
= 10 * ab * (10^2n - 1)/99 + 99a/99

この式を整理すると、

abab...aba = (ab * 10^(2n+1) - ba) / 99

あるいは、ab をちゃんと 10a+b と書くと、

abab...aba = ((10a+b)*10^(2n+1)-(a+10b))/99

となることがわかります。

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三島　久典