トップ へ戻る．● (No.239) 衛星AO-40 のドップラーシフト再考 (2000年11月30日) ------------------------------------------------------------ JE9PEL/1 Wakita wrote: >本日(11/28)、衛星AO-40の LOS 直前のミドルビーコン周波数を１分ごとに観測 >しました。 LOS時刻は、軌道要素から計算されるのと同じく実際に17時42分JST >でした。 観測は その12分前の 17時30分JST から行いました。下記の周波数は >デモデュレーターがロックした時の受信周波数で、'MA'はその時の P3T の表示 >を記録しました。 > >衛星までの距離(Range)を考えると、17時39分JST頃が近地点(Perigee)のようで >すが、'MA'は 256(= 0) ではなく、250 という表示でした。 この時「衛星が近 >地点に近づく」=「ケプラー法則により衛星の軌道上の速度が上がる」=「相対 >速度は上がっていく」=「ドップラ偏移量は増える」ということだと思います。 >そして 17時39分ちょうどに、受信周波数は衛星の発信周波数の 145.898MHz と >同じになっています。下記の実験結果と見比べていて 何だか頭の中が混乱して >きました。 後でもう一度落ち着いて考えてみます。 > > JST MA Observed Range > 17:30 247 145.8995 MHz 6800 km > 17:31 247 145.8993 6600 > 17:32 248 145.8992 6300 > 17:33 248 145.8990 6200 > 17:34 248 145.8989 6100 > 17:35 249 145.8987 5900 > 17:36 249 145.8986 5850 > 17:37 249 145.8983 5800 > 17:38 250 145.8981 5750 > 17:39 250 145.8980 5750 > 17:40 250 145.8977 5760 > 17:41 251 145.8976 5800 > 17:42 251 LOS 後で考えてみてわかりました。 近地点 'Perigee' とは衛星が地球に最も近づく 点で、この点は MA = 256(= 0) のことであって、上記の時刻17:39の時点では、 衛星が観測地点(QTH横浜) に最も近づいたのが MA = 250 の点であった、という ことなのですね。 受信周波数を表す式は、より正確には【f = fo * c / (c - V * cosθ)】です。 θは観測者と衛星のベクトル(進行方向)とのなす角、速度 V は 遠ざかる方向を ＋(プラス)、近づく方向を−(マイナス)として、遠地点では θ＝180゜と仮定す ると cos180゜＝−1 となり、【f = fo * c / (c + V)】 となります。 近地点付近では、ケプラー法則から確かに衛星の速度は最大になりますが、上記 のデータのように観測点と近地点が近い時は θ＝90゜と仮定して、cos90゜＝0 となり、f = fo = 145.898 MHz となります。【f = fo * c / (c - V * cosθ)】 を式変形すると、 【V = c(f - fo) / f*cosθ】 が得られます。 実際にはこれ に仰角が加わって、もっと複雑な式になると思います。 JF6BCC Imaishi wrote: 遠地点でθ=180度とすることは、仮定として悪くないとは思いますが、地球の 半径は 6,000km 近くあり、遠地点 40,000km 程度の距離からでは 無視できない ですよね。 また、近地点でθ=90度 に仮定することは、観測者の位置が近地点直下の場合 のみですから、こちらは無理があると思います。混同と言うより、簡単な式で表 そうと苦労して…失敗しているのではないかと思います (^^;)。 観測地点での周波数変化は、 ・衛星と地球重心との位置関係 ・地球上にある観測点と地球重心との位置関係 の複合結果から導かれるものですから、衛星が地球を公転しつつ、しかも観測 点は地球の自転に伴い移動し、その運動は地球重心を通らない面上の円運動とな る訳で…、かなり複雑な式にならざるを得ないと思います。その上で、観測点が 衛星の公転軌道上にない場合も考えなくてはなりません。 で、実際の軌道計算ソフトでは、そういう面倒なことはせず、ある特定の時刻 に、座標系上に衛星と観測点の位置を求め、その相対距離を計算し、一定時間前 に計算した結果と比較して、その差から相対速度を計算して、標準周波数からの シフト量を導き出しているのだと思います。これなら簡単ですし、とてもわかり 易いと思います。 幸い、地球の大きさと大気層の厚さは、周期が数分、のような高速衛星の存在 を許しませんので、１秒間隔で計算すれば、充分に精度の高い相対速度を算出で きますよね。 JE9PEL/1 Wakita wrote: 衛星AO-40 の近地点付近の飛行速度を、ケプラー方程式を用いてニュートン法に よって詳細に求めることができましたので、ここに報告します。観測した MA を もとに、方程式【t-e*sin(t)=MA】を逐次近似することによって、近地点付近で は、確かに AO-40 の飛行速度が増加していることが確かめられました。 まず、 方程式を 次のように段階を踏んで近似していきます。 これらの式の持つ詳しい 意味については、次の URL の解説を参照して下さい。 数式に興味のない方は、 読み飛ばして下さい。 http://www.asahi-net.or.jp/~EI7M-WKT/eisei21.htm http://www.asahi-net.or.jp/~EI7M-WKT/eisei22.htm http://www.asahi-net.or.jp/~EI7M-WKT/eisei23.htm http://www.asahi-net.or.jp/~EI7M-WKT/eisei24.htm M=MA*2*3.14/256 ラジアンに変換 to=M＋e*sin(M)＋0.5*e^2*sin(2M) 初期値 Mo=to-e*sin(to) dto=(M-Mo)/(1-e*cos(to)) t1=to+dto 第一近似値 m1=t1-e*sin(t1) dt1=(M-m1)/(1-e*cos(t1)) t2=t1+dt1 第二近似値 m2=t2-e*sin(t2) dt2=(M-m2)/(1-e*cos(t2)) t3=t2+dt2 第三近似値 tan(t3/2) u=root((1+e)/(1-e))*tan(t3/2) s=2*arctan(u) 真近点離角 p=24*3600/n 周期 4*3.14^2*(a^3/p^2)=G*Q 万有引力の法則 a=(((G*Q*p^2)/(4*3.14^2))^(1/3))*10^9 軌道長半径 r=a(1-e^2)/(1+e*cos(s)) 地球の中心と衛星との距離 V^2=GQ(2/r-1/a) V=sqrt(V^2) 衛星の飛行速度 上記の下から五行目の式は '万有引力の法則' で、 G は 定数 6.6732*10^(-8), Q は地球の質量 5.9732*10^27 [g] としています。なお 計算途中で、離心率 e と平均運動(Mean Motion) の n を使用する部分がありますが、それは次の最新 軌道要素を使用しました。 (e=0.7351666, n=2.03021569 [rev/day]). これは かなり正確な軌道要素で、これを用いて計算した 本日(11/29)の衛星 AO-40 の AOS と LOS の時刻が、実際の観測とほぼ同時刻となりました。 AO-40 1 26609U 00072B 00328.20006944 .00000001 00000-0 12451-4 0 45 2 26609 6.4214 245.2971 7351666 180.5141 180.0042 2.03021569 166 これを用いて計算の最後に、周期 p = 24[h]/n = 11.8214[h] = 4.2557*10^4[s] 軌道長半径 a = 2.63453 * 10^9[cm] が得られます。有効数字は適宜考慮して、 その他の上記の計算の途中経過を抜粋すると、次のとおりとなりました。 MA は 昨日(11/28) 得られた観測データで、同値のところは比例配分しました。 V以外 の単位は cgs系です。 速度 V の値を見ると、衛星が近地点に近づくにつれて、 確かに除々に増加していることがわかります。 MA to dt2 t3 s r V[km/s] 247.3 5.795 -0.001 5.605 -1.470 1127255163 7.46 247.7 5.817 -0.001 5.629 -1.430 1097427348 7.58 248.0 5.833 -0.001 5.646 -1.403 1078257131 7.67 248.3 5.849 0 5.664 -1.372 1057159247 7.76 248.7 5.871 0 5.690 -1.329 1029431354 7.89 249.3 5.904 -0.001 5.727 -1.261 988987604 8.09 249.4 5.910 0 5.736 -1.247 981148771 8.13 249.7 5.926 -0.002 5.754 -1.213 962768180 8.23 250.0 5.943 -0.001 5.774 -1.175 943283110 8.33 250.3 5.959 0 5.796 -1.134 923449348 8.44 250.7 5.981 -0.003 5.823 -1.079 898669773 8.58 251.0 5.998 -0.002 5.845 -1.038 881480297 8.68 最初に述べた 20段階の数式のアルゴリズムを 定式化(プログラミング)すること により、衛星を観測することによって衛星の飛行速度を含む上記のような種々の データを、簡単に求めることができます。 《補足》 'WiSP3215 (GSC2.03)' の衛星AO-40の MA表示 が遅れているので、注意が 必要です。 先日、amsat-bb でも話題になっていました。 別の軌道計算 ソフトの 'WinTrak3.50' や 'P3T' などと比較すると、WiSP の方が MA値 として、約 126 ほど遅れて表示されています。 AO-40 MA JST WinTrak WiSP 19 Nov, 10:22 23 153 (153+126-256= 23) 21 Nov, 11:30 63 193 (193+126-256= 63) 28 Nov, 17:39 250 124 (124+126=250) 02 Dec, 10:12 120 250 (250+126-256=120) 本日(12/3)も、'WiSP3215 (GSC2.03)' の衛星AO-40の 'MA表示'の遅れに ついて、WinTrak(V3.50) の他に、今話題の Calsat32(V1.0.5) を用いて 昨日(12/2)の LOS と、本日(12/3)の AOS について確認してみました。 やはり WiSP が、MA値として約 126 ほど遅れて表示されます。 AO-40 MA JST WinTrak Calsat WiSP 02 Dec, 16:13 250 250 124 (124+126=250) 03 Dec, 04:34 5 5 135 (135+126-256=5) なお使用した軌道要素は、現在ほぼ正確に AO-40 を追尾している #16 の ものです。 さらに他の衛星の MA を調べてみると、各衛星ごとに 同様に 一定の誤差があることがわかりました。 AO-40 1 26609U 00072B 00328.20006944 .00000001 00000-0 12451-4 0 45 2 26609 6.4214 245.2971 7351666 180.5141 180.0042 2.03021569 166
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