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● (EISEI.21) ケプラーの法則について (1993年 12月30日)
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下記資料(*1)の JR1SWB／中山氏 の「ＡＯ-１０の軌道と姿勢制御(1)」、と題する
原稿において、ＡＯ-１３等の衛星や 一般の天体にも通ずる概念が、わかりやすく
明快に解説されています。以前、この資料をJJ1WTK／坂本氏に紹介され、解説等も
いただきました。
本編(21),(22),(23)において、その基礎部分を資料(*2)を使って私なりに補足して
いきますが、衛星通信‘入門’にしては数式が多く出てきますので、興味の湧かな
い方は読み流してもよいです。
まず、惑星の運動に関する次の有名な「ケプラーの三法則」をあげます。
+−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+
| １．各惑星は太陽を焦点とする楕円上を動く。 |
| ２．惑星と太陽とを結ぶ線分は等時間に等面積をおおう。 |
| ３．惑星の公転周期の2乗は軌道の半長径の3乗に比例する。|
+−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+
我々は、この三法則の中の惑星を「衛星」に、太陽を「地球」という言葉に置き換
えて考えていきます。そうするとケプラーの第１法則から、地球は衛星の楕円軌道
の焦点の一つになります。
楕円の方程式は一般に ｘ2／a2＋ｙ2／b2＝１（a＞b）で、その焦点は２つあり、
その座標は、Ｆ'(-ae,0) と Ｆ(ae,0) です。ここで、e は離心率を表し、
e＝root(a2−b2)／a です。
焦点Ｆに原点Ｏを移動すると (ｘ＋ae)2／a2＋ｙ2／b2＝１ となります。
焦点Ｆに地球があると考え、地球と衛星の距離を ｒ とし、近地点と地球と衛星の
なす角「真近点離角」を φ とし、これを極座標表示すると次のようになります。
(ｒcosφ＋ae)2／a2＋(ｒsinφ)2／b2＝１ この式の分母を払って
e2＝1−b2／a2 に注意して、ｒについて整理すると次の式が得られます。
(a2×sin2φ＋b2×cos2φ)×ｒ2＋２(ab2×e×cosφ)×ｒ−b4＝０
この ｒの二次方程式 の判別式の部分は a2×b4 となるので、ｒについて解くと
ｒ＝{−(ab2×e×cosφ)＋ab2}／(a2×sin2φ＋b2×cos2φ)
が得られ、sinφを消去してさらに式変形をしていくと次の綺麗な式が得られます。
《 ｒ＝a(1−e2)／(1＋e×cosφ) 》 ... (a)
今、楕円軌道に外接する円を考え、衛星を通って楕円の長径に垂直な直線がこの円
と交わる点を考えます。この点と円の中心と近地点とのなす角を「離心近点離角」
と言い、τ で表すことにします。
ここで、次の関係式が得られることを証明してみましょう。
《 tan(φ/2)＝root((1＋e)／(1−e))×tan(τ/2) 》 ... (b)
まず、この 円と楕円に関する基礎的な公式から、次の２つの式が得られます。
ｒ×sinφ＝a×sinτ×(b/a)＝a×sinτ×root(1−e2)
ｒ×cosφ＝a×cosτ−ae＝a(cosτ−e)
辺々二乗して加えて整理すると、ｒ2＝a2(1−e×cosτ)2 すなわち、
ｒ＝a(1−e×cosτ) よって、cosτ＝(a−ｒ)／(ae) となります。
従って、半角の公式から次の式が得られます。
tan2(τ/2)＝(1−cosτ)／(1＋cosτ)＝...＝(ae−a＋ｒ)／(ae＋a−ｒ)
ところで《(a)》式より、cosφ＝(a−ae2−ｒ)／eｒ、同じく半角の公式より
tan2(φ/2)＝(1−cosφ)／(1＋cosφ)
＝...＝(eｒ−a＋ae2＋ｒ)／(eｒ＋a−ae2−ｒ)
＝{(1＋e)(ae−a＋ｒ)}／{(1−e)(ae＋a−ｒ)}
これで《(b)》式が証明されましたが、これは次の式と同値です。
《 φ＝2×tan(-1){root((1＋e)／(1−e))×tan(τ/2)} 》 ... (b)'
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参考資料 (*1)JAMSAT Newsletter #96('86 5/25) JR1SWB／中山氏 記事
(*2)天文学通論 （鈴木敬信著 地人書館）
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