３章　n=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)

概要

Melvyn J. Knight は、

与えられたｎについて、不定方程式 n=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z) が整数解を持つかどうか

を問題とした。

（Andrew Bremner , Richard K. Guy , and Richard J. Nowakowski ,

  "Which integers are representable as the product of
    the sum of three integers with the sum of their reciprocals ?"
    Math. Comput. Vol.61, Number 203, (1993 July) より）

ここでは、まず簡単なプログラムで、-100 ≤ n ≤ 100 の範囲の整数解を探してみる。
次に、上記の論文を参考に、双有理同値な楕円曲線上の有理点を求めることにより、
(x,y,z) が大きな値となる解を求める。例えば、

n = -100 : (x,y,z) = (4450012553, 219887106322, -663397965750)
n = 94 : (x,y,z) = (571064, -1799160, 79045681)

等を見つけることができる。
また、同じような不定方程式 x/y+y/z+z/x=n について、整数解を探してみる。
これも楕円曲線を用いることにより、

n = -48 : (x,y,z) = (72072752816411426700, 33132848506525529596688, -2507202774146263930905)
n = 62 : (x,y,z) = (4467832378776170000, -51609086900999886977, 278221158496143039700)

等を見つけることができる。

この問題の意味するところを理解するために、以下の解を求めてみて下さい。

• 問1  -12 = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)
• 問2  37 = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)
• 問3  -17 = x/y+y/z+z/x
• 問4  14 = x/y+y/z+z/x

目次

1. プログラム
2. 実行結果
3. Bremner の手法
4. x/y+y/z+z/x=n の整数解