＃５　３ケタを牛耳る数

放送で紹介された内容

1089は特別な数。 ３桁の数を適当に選ぶ。例えば、125 数字を逆から並べる。521 大きい方から小さい方を引く。521-125=396 逆順にして足す。396+693=1089 別の数でやっても最後はやはり 1089 となる もちろん、１の位と100の位の数が等しい場合は、逆順にして引き算をすると０になるので、 この性質は成り立たない。しかし、それ以外の数については、必ず成り立っている。

数学的なバックグラウンド

まず、何故このようになるかを考えてみます。

３ケタの数は 100a+10b+c と表すことができます。各桁の数を逆順にすると、100c+10b+a
引き算をすると、

(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100(a-c)+(c-a)

ここで a-c の取りうる値は 1〜9 の９通りなので（０だと、逆順にして足しても０にしかならないので不適）

(c-a)= -(a-c)

a-c に 1〜9 の値を代入して計算してみると、

１の場合：100*1+(-1)=99
２の場合：100*2+(-2)=198
３の場合：100*3+(-3)=297
４の場合：100*4+(-4)=396
５の場合：100*5+(-5)=495
６の場合：100*6+(-6)=594
７の場合：100*7+(-7)=693
８の場合：100*8+(-8)=792
９の場合：100*9+(-9)=891

全て、10の位が９、１の位と100の位の和が９となっています（１の場合は、100の位が０なので、逆順を990とみなす）。
従って、逆順の数と足すと全て同じ結果となり、例として２の場合で計算してみると、

198+891=1089

となり、答えは1089となります。

実は、他の桁数の場合も、同じ手順の計算をすると、答は必ず一定の値となります。
（証明は、同じ要領でOK。ただし、場合分けが増える）

以下、10桁まで、結果のみを書くと、

２桁：99
３桁：1089 (２桁 * 10 + 99) = 10^0 * 11 * 99
４桁：10890 (３桁 * 10)
５桁：109890 (４桁 * 10 + 990) = 10^1 * 111 * 99
６桁：1098900 (５桁 * 10)
７桁：10998900 (６桁 * 10 + 9900) = 10^2 * 1111 * 99
８桁：109989000 (７桁 * 10)
９桁：1099989000 (８桁 * 10 + 99000) = 10^3 * 11111 * 99
10桁：10999890000 (９桁 * 10)
...

となります。