地心直交座標（x-y-z）と局地座標（n-e-d）の変換行列

１つのベクトルを異なる２つの直交座標で表すときの座標の変換行列を導きます．原点 O を地球中心とし赤道上で 0°E と 90°E の方向を x と y，自転軸の北極方向を z とした座標系（地心直交座標）を x-y-z 座標とします．また，（緯度，経度）が（λ, φ）の地点を原点とし北-東-鉛直下を n， e， d 軸とする局地座標系を n-e-d 座標とします．

図のように， x-y-z 座標系の基底ベクトルを \({\bf i}\)， \({\bf j}\)， \({\bf k}\)， n-e-d 座標系の基底ベクトルを \({\bf n}\)， \({\bf e}\)， \({\bf d}\) で表わします．任意のベクトル \({\bf v}\) は次のように２通りに表わすことができます． \[ {\bf v} = v_x{\bf i} + v_y{\bf j} + v_z{\bf k} = v_n{\bf n} + v_e{\bf e} + v_d{\bf d}. \] これより \(v_x\)， \(v_y\)， \(v_z\) は， \begin{eqnarray*} v_x & = & {\bf v}\cdot{\bf i} = v_n{\bf n}\cdot{\bf i} + v_e{\bf e}\cdot{\bf i} + v_d{\bf d}\cdot{\bf i}, \\ v_y & = & {\bf v}\cdot{\bf j} = v_n{\bf n}\cdot{\bf j} + v_e{\bf e}\cdot{\bf j} + v_d{\bf d}\cdot{\bf j}, \\ v_z & = & {\bf v}\cdot{\bf k} = v_n{\bf n}\cdot{\bf k} + v_e{\bf e}\cdot{\bf k} + v_d{\bf d}\cdot{\bf k}, \end{eqnarray*} となるので，次の座標の変換行列を導入します． \begin{equation} A = \left(\begin{array}{ccc} {\bf n}\cdot{\bf i} & {\bf e}\cdot{\bf i} & {\bf d}\cdot{\bf i} \\ {\bf n}\cdot{\bf j} & {\bf e}\cdot{\bf j} & {\bf d}\cdot{\bf j} \\ {\bf n}\cdot{\bf k} & {\bf e}\cdot{\bf k} & {\bf d}\cdot{\bf k} \end{array}\right). \label{eq01} \end{equation} そこで同じベクトルを局地座標で表わしたものを \({\bf v}_L\) とすると，局地座標から地心直交座標への変換は次式となります． \begin{equation} {\bf v} = A {\bf v}_L. \label{eq02} \end{equation} 同様にして， \(v_n\)， \(v_e\)， \(v_d\) は， \begin{eqnarray*} v_n & = & {\bf v}\cdot{\bf n} = v_x{\bf i}\cdot{\bf n} + v_y{\bf j}\cdot{\bf n} + v_z{\bf k}\cdot{\bf n}, \\ v_e & = & {\bf v}\cdot{\bf e} = v_x{\bf i}\cdot{\bf e} + v_y{\bf j}\cdot{\bf e} + v_z{\bf k}\cdot{\bf e}, \\ v_d & = & {\bf v}\cdot{\bf d} = v_x{\bf i}\cdot{\bf d} + v_y{\bf j}\cdot{\bf d} + v_z{\bf k}\cdot{\bf d}, \end{eqnarray*} となり，変換行列は \(A\) の転置行列です． \begin{equation} ^tA = \left(\begin{array}{ccc} {\bf n}\cdot{\bf i} & {\bf n}\cdot{\bf j} & {\bf n}\cdot{\bf k} \\ {\bf e}\cdot{\bf i} & {\bf e}\cdot{\bf j} & {\bf e}\cdot{\bf k} \\ {\bf d}\cdot{\bf i} & {\bf d}\cdot{\bf j} & {\bf d}\cdot{\bf k} \end{array}\right). \label{eq03} \end{equation} よって， \({\bf v}\) の地心直交座標から局地座標への変換は次式となります． \begin{equation} {\bf v}_L = {^t}A {\bf v}. \label{eq04} \end{equation} ここで， \[ {\bf i}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \quad {\bf j}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \quad {\bf k}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \qquad {\bf n}=\left(\begin{array}{c}n_x \\ n_y \\ n_z\end{array}\right), \quad {\bf e}=\left(\begin{array}{c}e_x \\ e_y \\ e_z\end{array}\right), \quad {\bf d}=\left(\begin{array}{c}d_x \\ d_y \\ d_z\end{array}\right), \] を (1) と (3) へ代入すると， \(A\) と \(^tA\) はベクトル表示も合わせて，次のようになります． \begin{eqnarray} A & = & \left(\begin{array}{ccc} n_x & e_x & d_x \\ n_y & e_y & d_y \\ n_z & e_z & d_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} {\bf n} & {\bf e} & {\bf d} \end{array}\right), \label{eq05} \\ ^tA & = & \left(\begin{array}{ccc} n_x & n_y & n_z \\ e_x & e_y & e_z \\ d_x & d_y & d_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} ^t{\bf n} \\ ^t{\bf e} \\ ^t{\bf d} \end{array}\right). \label{eq06} \end{eqnarray} \(^tAA\) を計算すると， \[ ^tAA = \left(\begin{array}{c} ^t{\bf n} \\ ^t{\bf e} \\ ^t{\bf d} \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} {\bf n} & {\bf e} & {\bf d} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} ^t{\bf n}\cdot{\bf n} & ^t{\bf n}\cdot{\bf e} & ^t{\bf n}\cdot{\bf d} \\ ^t{\bf e}\cdot{\bf n} & ^t{\bf e}\cdot{\bf e} & ^t{\bf e}\cdot{\bf d} \\ ^t{\bf d}\cdot{\bf n} & ^t{\bf d}\cdot{\bf e} & ^t{\bf d}\cdot{\bf d} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right). \] となるので，線型代数の定理より \(^tA\) は \(A\) の逆行列， \(^tA=A^{-1}\) です．

最後に， \(A\) と \(^tA\) を n-e-d 座標の原点の緯度経度 (λ, φ) で表わします．上図から基底ベクトル \({\bf n}\)-\({\bf e}\)-\({\bf d}\) は \({\bf i}\)-\({\bf j}\)-\({\bf k}\) を， (1) y 軸の回りに -(90°+λ) 回転（+y から見て時計回り）してから， (2) z 軸の回りに φ 回転（+z から見て反時計回り）すると得られます．回転行列 \(T\) は（公式は → ここにあります）， \begin{eqnarray*} T & = & \left(\begin{array}{ccc} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} \cos[-(90+\lambda)] & 0 & \sin[-(90+\lambda)] \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin[-(90+\lambda)] & 0 & \cos[-(90+\lambda)] \end{array}\right), \\ & = & \left(\begin{array}{ccc} -\sin\lambda\cos\phi & -\sin\phi & -\cos\lambda\cos\phi \\ -\sin\lambda\sin\phi & \cos\phi & -\cos\lambda\sin\phi \\ \cos\lambda & 0 & -\sin\lambda \end{array}\right). \end{eqnarray*} この回転行列 \(T\) を \({\bf i}\) に作用させて \({\bf n}\) が得られます． \[ \left(\begin{array}{c}n_x \\ n_y \\ n_z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} -\sin\lambda\cos\phi & -\sin\phi & -\cos\lambda\cos\phi \\ -\sin\lambda\sin\phi & \cos\phi & -\cos\lambda\sin\phi \\ \cos\lambda & 0 & -\sin\lambda \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\sin\lambda\cos\phi \\ -\sin\lambda\sin\phi \\ \cos\lambda \end{array}\right) \] 同様にして \({\bf e}\) と \({\bf d}\) は次のようになります． \[ \left(\begin{array}{c}e_x \\ e_y \\ e_z\end{array}\right) = T\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{c}d_x \\ d_y \\ d_z\end{array}\right) = T\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\cos\lambda\cos\phi \\ -\cos\lambda\sin\phi \\ -\sin\lambda \end{array}\right). \] これらを用いて式(5)の \(A\) を表わし，式 (2) よりベクトル \({\bf v}_L\) の局地座標から地心直交座標への変換は， \begin{equation} \left(\begin{array}{c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} -\sin\lambda\cos\phi & -\sin\phi & -\cos\lambda\cos\phi \\ -\sin\lambda\sin\phi & \cos\phi & -\cos\lambda\sin\phi \\ \cos\lambda & 0 & -\sin\lambda \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} v_n \\ v_e \\ v_d \end{array}\right), \label{eq07} \end{equation} となります．同様に式 (4) よりベクトル \({\bf v}\) の地心直交座標から局地座標への変換は次式となります． \begin{equation} \left(\begin{array}{c} v_n \\ v_e \\ v_d \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} -\sin\lambda\cos\phi & -\sin\lambda\sin\phi & \cos\lambda \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ -\cos\lambda\cos\phi & -\cos\lambda\sin\phi & -\sin\lambda \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right). \label{eq08} \end{equation}

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