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4桁だけでなく、他の桁数でもこのような数があります。
2桁 | 09 ⇒ 81 ⇒ 63 ⇒ 27 ⇒ 45 ⇒ 09 のように、ループとなる。 |
3桁 | 全ての数は 495 に行き着く。 |
4桁 | 全ての数は 6174 に行き着く。 |
5桁 |
以下の3種類のループのどれかに行き着く。
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6桁 |
631764 または 549945 に行き着くか、ループ 851742 ⇒ 750843 ⇒ 840852 ⇒ 860832 ⇒ 862632 ⇒ 642654 ⇒ 420876 ⇒ 851742 に行き着く。 |
7桁 |
ループ 8429652 ⇒ 7619733 ⇒ 8439552 ⇒ 7509843 ⇒ 9529641 ⇒ 8719722 ⇒ 8649432 ⇒ 7519743 ⇒ 8429652 に行き着く。 |
8桁 |
63317664 または 97508421 に行き着くか、以下の2種類のループ
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9桁 |
864197532 または 554999445 に行き着くか、ループ 865296432 ⇒ 763197633 ⇒ 844296552 ⇒ 762098733 ⇒ 964395531 ⇒ 863098632 ⇒ 965296431 ⇒ 873197622 ⇒ 865395432 ⇒ 753098643 ⇒ 954197541 ⇒ 883098612 ⇒ 976494321 ⇒ 874197522 に行き着く。 |
10桁 |
9753086421 または 6333176664 または 9975084201 に行き着くか、以下の5種類のループのどれかに行き着く。
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このような数はカプレッカー数(Kaprekar number)と呼ばれており、
インドの数学者 D. R. Kaprekar が 1955年に "An Interesting Property of the Number 6174"
(数字6174の興味深い性質)という論文で発表したのが始まりです。
(従って、TVで紹介された時、バックに映っていたガンジス河は、本当に関係があった)
このような数の求め方は、
単純に考えると、1000から9999までの9000個全部しらみつぶしのように思えますが、
実はもう少し効率化できます。
4桁の数の各桁の数字を大きい順に a, b, c, d とすると、
(大きい順)−(小さい順)
= (1000a+100b+10c+d)−(1000d+100c+10b+a)
= 1000(a−d)+100(b−c)−10(b−c)−(a−d)
= 999(a−d)+99(b−c)
ここで、a−d、b−c は0から9までのどれかとなるので、全体では 10×10=100通り、
ただし、a−d=b−c=0の場合を除くと、99通りとなります。
この程度の個数であれば手計算でも検証可能です。
この問題に関しては日本人がものすごい結果を出しており、
平田郁美 氏が、このカプレッカー数を、何と 31桁まで求めています。
論文はこちら。
(共愛学園前橋国際大学論集 第5号 2005年)
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