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10＝9＋1
100＝99＋1
1000＝999＋1
10000＝9999＋1
...
なので、例えば４桁の数を、1000a+100b+10c+d と表すとき、
1000a+100b+10c+d = (999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d = (999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
ここで、999a+99b+9c は９で割り切れるので、
1000a+100b+10c+d を９で割った余りと、a+b+c+d を９で割った余りは等しくなります。
一般に、10のｎ乗 (n≥1) は９で割ると１余るので、何桁の数であっても、
９で割り切れるかどうかの判定は、各桁の数を足して９で割れば求めることができます。
ここでは、他の数について、割り切れるかどうかの判定法を考えてみます。
これは、９の場合と同じ。例えば、４桁の数については、
1000a+100b+10c+d = (999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
999a+99b+9c は３で割り切れるので、1000a+100b+10c+d を３で割った余りは、
a+b+c+d を３で割った余りと等しくなります。
一般に、10のｎ乗 (n>=1) は３で割ると１余るので、何桁の数であっても、
３で割り切れるかどうかの判定は、各桁の数を足して３で割れば求めることができます。
これは要するに奇数か偶数かの判定で、１の位の奇偶で判定できます。
任意の数ｎは、１の位と、10以上の位に分けて、n = 10a+b と表すことができ、
ｎから１の位を除いた数は、必ず２で割り切れるので、１の位だけに着目する方法が正しいことがわかります。
この方法は、４、８、16、一般に２のべき乗で割り切れるかどうかの判定に応用でき、
n = 100a+b と表すと、100は４で割り切れるので、下２桁が４で割り切れれば、元の数も４で割り切れる
n = 1000a+b と表すと、1000は８で割り切れるので、下３桁が８で割り切れれば、元の数も８で割り切れる
n = 10000a+b と表すと、10000は16で割り切れるので、下４桁が16で割り切れれば、元の数も16で割り切れる
...
となります。５も10も同じ理由で、１の位だけに着目すればわかります。
これで、10以下で残っている数は７ですが、７の倍数の判定の前に、もう少し簡単な11について。
10＝11−1
100＝99＋1＝9×11＋1
1000＝1001−1＝91×11−1
10000＝9999＋1＝909×11＋1
...
このように、偶数桁の時は、11の倍数−1、奇数桁の時は、11の倍数＋1となるので、
例えば４桁の数を、1000a+100b+10c+d と表すとき、
1000a+100b+10c+d
= (91×11-1)a+(9×11+1)b+(11-1)c+d
= (91×11)a+(9×11)b+11c + (-a+b-c+d)
つまり、偶数桁の数、奇数桁の数をそれぞれ足して、引き算をした結果が11で割り切れるとき、
元の数も11で割り切れます。
これまでと同じように、
10＝7＋3
100＝98＋2＝14×7＋2
1000＝994＋6＝142×7＋6
10000＝9996＋4＝1428×7＋4
...
とやっていって、
10000a+1000b+100c+10d+e
= (1428×7＋4)a+(142×7＋6)b+(14×7＋2)c+(7＋3)d+e
= (1428×7)a+(142×7)b+(14×7)c+7d + (4a+6b+2c+3d+e)
としてもできなくはありませんが、3, 2, 6, 4, ... という数字の並びを覚えるのが大変だし、
計算も全然簡単になっていません（そのまま割った方が速い）。
実は、もっと簡単な方法があります。
それは、以下のような手順で行います。
例．142857の場合
14285＋7×5＝14320
1432＋0×5＝1432
143＋2×5＝153
15＋3×5＝30
⇒ 7で割り切れない。
（注：この時の余りは、最初の数とは無関係）
例．1001の場合
100＋1×5＝105
10＋5×5＝35
⇒ 7で割り切れる。
何故この方法でうまくいくのかの説明は難しいので、 一応、説明は書いておきますが、興味の無い方は飛ばして下さい。
この方法でうまくいく理由
ある数が７で割り切れるなら、その数をｎ倍しても７で割り切れる。
７で割り切れないなら、ｎ倍しても割り切れない。
（ただし、ｎは７の倍数以外の数）
よって、元の数 n = 10a + b と表した時、
n が７で割り切れるかどうか、は、
5n = 50a + 5b
が７で割り切れるかどうかと同じ。
ここで、
50a + 5b
= (49+1)a + 5b
= 49a + a + 5b
ここで、49a は７で割り切れるので、残った a+5b が７で割り切れるかどうかを調べればよい。
これは、元の数の１の位に５を掛け、10の位以上の数に加えることを意味する。
この方法を応用して、（どの本でも紹介されていない）13, 17, 19, ... で割り切れるかどうか、
も判定することができます。具体的な手順は、
ただし、いずれの場合も、そのまま割った方が速い、というのが難点ですが。
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