37は特別な数。
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37が111の約数なので、111の倍数である222〜999が37で割り切れるのはあたりまえの話です。
それよりも、111という 1 だけが並ぶ数の約数に着目してみます。
桁数が偶数の場合、11及び、11...11(1の個数が半分)で割り切れるのは一見して明らかです。
また一般に桁数が合成数の場合、1の個数が桁数の約数となっているような1並びの数
11...11 で割り切れるのも一見して明らかです。
言っている意味がピンと来ないかも知れないので、実例を示すと、
例えば6桁 111111 の場合は、
1 01 01 ----------- 11 ) 11 11 11 ... 111111 / 11 = 10101 1 001 ---------- 111 ) 111 111 ... 111111 / 111 = 1001
のように、11 (2桁), 111 (3桁) で割り切れる。
例えば12桁 111111111111 の場合は、
1 01 01 01 01 01 -------------------- 11 ) 11 11 11 11 11 11 1 001 001 001 ------------------ 111 ) 111 111 111 111 1 0001 0001 ----------------- 1111 ) 1111 1111 1111 1 000001 ---------------- 111111 ) 111111 111111
のように、11 (2桁), 111 (3桁), 1111 (4桁), 111111 (6桁) で割り切れる。
桁数が素数の場合は、上記のような自明な約数が無いので、実際に素因数分解するしか手がありません。
結果のみを示すと、
11...11のように1が並ぶ数を repunits と呼びます。
n桁の 11...11について、
11...11 * 9 = 99...99 = 10^n - 1
なので、
11...11 = (10^n-1)/9
と式で表すことができます。
この repunits 及び、その素因数分解結果については、
こちらに掲載しています。
例えば、
11...11 (101桁) =
4531530181816613234555190841 *
129063282232848961951985354966759 *
18998088572819375252842078421374368604969
なので、
というようなことも言えます。
(「割り切れる」という事実よりも、101桁の数を素因数分解したことの方がすごい)
また、11...11 = (10^n - 1)/9 という式を求める時に使った計算のテクニックを使うと、
他の特殊な形をした数についても式を求めることができ、例えば、
1010...101 という数については、
1010...101 * 99
= 99...99 (99が整数個 = 9が偶数個)
= 10^2n - 1
なので、
1010...101 = (10^2n - 1)/99
もっと一般に abab...aba という数については、
abab...ab / ab = 1010...101 = (10^2n - 1)/99
より、
abab...aba
= 10 * abab...ab + a
= 10 * ab * (10^2n - 1)/99 + 99a/99
この式を整理すると、
abab...aba = (ab * 10^(2n+1) - ba) / 99
あるいは、ab をちゃんと 10a+b と書くと、
abab...aba = ((10a+b)*10^(2n+1)-(a+10b))/99
となることがわかります。
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