５．まとめ

さて、２数ｍ、ｎが以下のような関係のとき友愛数となることが知られている。

ｍ＝２ⁱａ
ｎ＝２ⁱｂｃ

ただし、

ａ＝３²・２⁽²ⁱ⁻¹⁾−１
ｂ＝３・２⁽ⁱ⁻¹⁾−１
ｃ＝３・２ⁱ−１
かつ、ａ、ｂ、ｃが素数。

この関係式を満たすとき友愛数となることは、約数の和の公式を使って計算するとわかる。
しかし、前の表の中でこの関係式を満たすものは、以下の３組しかない。

  1 :       220         284 (i=2)
  8 :    17,296      18,416 (i=4)
104 : 9,363,584   9,437,056 (i=7)

他の組の間にはどのような関係があるのか。

残念ながら適当な文献が見あたらなかった。
表を眺めていると、２を素因数に持たない組が目に付く。
そのあたりから、一般式が求められそうな気もする。

以前紹介したH.J.J.te Riele の論文では、
友愛数のしらみつぶし探査の効率化について触れられている。
しかし、斜め読みしたところ、友愛数の組の関係式については、触れていないようであった。

準友愛数、拡大友愛数については、皆目わからない。
参考文献の『Unsolved Probrems in Number Theory』の
『B4 Amicable numbers』の注釈の文献をあたってみるしか、なさそうである。