８．個別解から恒等式を構成する方法

ｂ＝kpとなる任意の解から、その解を含む恒等式を構成することができる。

定理１

個別解 m/P＝1/A＋1/B＋1/C、B＝kP（kは整数）に対し、
a, b, c, d, e, f, c', d' を以下のように定義する。

c :＝ B/P
a :＝ mk−1
b :＝ a−(P mod a)
n :＝ (P+b)/a
d :＝ cn−A
e :＝ gcd(c,d)
c':＝ c/e
d':＝ d/e
f :＝ ke/(bc−ad)

このとき、式、

m/(an−b)＝1/e(c'n−d')+1/k(an−b)+1/f(an−b)(c'n−d')

は恒等式であり、特に上記で得られたｎについて、

P＝an−b
A＝e(c'n−d')
B＝k(an−b)
C＝f(an−b)(c'n−d)

となる。

証明

詳細は略。恒等式の右辺について、

< td align="left">e/f(an−b)(cn−d)

1/e(c'n−d')	＝	1/(cn−d)
1/f(an−b)(c'n−d')	＝
	＝	(bc−ad)/k(an−b)(cn−d)

及び c＝k なので、直接計算により示すことができる（証明終わり）。

さて、『５．ｂ＝ｋｐとなる解を含むような恒等式の構成方法』では、 恒等式の探査にあたり、かなり条件に制約をつけた。
とても同値変形とは云えないものだった。

しかし上記定理により、任意のｂ＝ｋｐとなる個別解から、 恒等式を構成できることがわかった。

残るは、ｂ≠ｋｐの場合である。この場合も恒等式を構成することができるか？

結論を云うと、できる。 その方法を次に述べる。