９．ｂ≠ｋｐとなる解を含むような恒等式の heuristic な構成方法

ｂ≠ｋｐの場合を考える。
ｃは必ずｐの倍数となる。

P＝an−b、C＝e(cn−d)(an−b)
gcd(a,b)＝1, gcd(c,d)＝1, b<a, d<c

とおく。

　m/P−1/C
＝ m/(an−b)−1/e(cn−d)(an−b)
＝{me(cn−d)−1}/e(cn−d)(an−b)
＝{mecn−(med＋1)}/e(cn−d)(an−b)

ここで、分母の an−b が約されるものとする。

         mec/a＝(med＋1)/b
          mecb＝a(med＋1)
∴  me(bc−ad)＝a

よって、ｍはａを割り切る。ａ＝mkとおくと、

   me(bc−ad)＝mk
∴  e(bc−ad)＝k

よって、ｅはｋを割り切る。

約されて残った部分は、ｎの係数に着目すると、

mec/ea＝mec/emk＝c/k

となるから、c/k(cn−d)が残る。すなわち、

m/(an−b)＝c/k(cn−d)＋1/e(cn−d)(an−b)

次に、このc/k(cn−d)を1/A＋1/Bに分解することを考える。
A＝fn−gとし、c/k(cn−d)−1/A の分子が１となる条件を求める。

c/k(cn−d)−1/(fn−g)
＝{c(fn−g)−k(cn−d)}/k(cn−d)(fn−g)
＝{(f−k)cn＋(dk−cg)}/k(cn−d)(fn−g)

ｎの係数は０でなければならない。故に、ｆ＝ｋ。 変数ｆは使わず、ｋに置き換える。

＝(dk−cg)/k(cn−d)(kn−g)

h＝gcd(k,g), i＝k/h, j＝g/h とすると、

＝h(di−cj)/k(cn−d)h(in−j)
＝(di−cj)/k(cn−d)(in−j)

よって、(di−cj)|k が求める条件である。f＝k/(di−cj) とする。 得られる恒等式は、

m/P＝1/A＋1/B＋1/C
  P＝an−b
  A＝h(in−j)
  B＝f(cn−d)(in−j)
  C＝e(cn−d)(an−b)

この関係を満たすような a,b,c,d,e,f,h,i,j を探してみる。プログラムは以下のとおり。

プログラム（メインループ）

 10  ' mn3.ub
 20  for m=4 to 7
 30    for k=1 to 100\m : a=m*k
 40      for e=1 to k : if k@e>0 then 160 : ' next e
 50        for b=1 to a-1 : if gcd(a,b)>1 then 150 : ' next b
 60          for d=1 to a*5 : ' ｃ，ｄの範囲は不明。経験則。
 70            c=(k/e+a*d)\b : if res<>0 then 140 : ' next d
 80            if gcd(c,d)>1 then 140 : ' next d
 90            for g=1 to k
100              h=gcd(k,g) : i=k\h : j=g\h
110              f=k\(d*i*-c*j):if res<>0 then 130 : ' next g
120              gosub *式のprint
130            next g
140          next d
150        next b
160      next e
170    next k
180  next m

式の print

P＝an−b
A＝h(in−j)
B＝f(cn−d)(in−j)
C＝e(cn−d)(an−b)

を順に print する。このとき cutspc(str(数値)) とすると、数値の前後のスペースが消えて見映えがよくなる。

式を満たす個別解の print

得られた式を満たす解を求める。
例えば、an−b となる数の print 方法は以下のとおり。

10  n=1: p=an-b
20  while p<=100
30    if prmdiv(p)<p then 50
40    print p
50    inc n : p=an-b : ' p=p+a の方が速くなる。
60  wend

以上の組み合わせで、

• まず個別解

  m/P＝1/A＋1/B＋1/C

  を求める。

• 次に、

  m/P＝1/A＋1/B＋1/C
  
  P＝an−b
  A＝h(in−j)
  B＝f(cn−d)(in−j)
  C＝e(cn−d)(an−b)

  を満たすような a,b,c,d,e,f,h,i,j が見つかるまでループさせる。

とする。このような a,b,c,d,e,f,h,i,j は必ず見つかる（定理２）。

プログラムは次のとおり。