他の解（ａ＝ｂまたはｂ＝ｃとならない解）から恒等式を探してみる。
まず、一般の解ａ、ｂ、ｃ（ただし、m/p＜１）は以下の関係式を満たす。
ｂについては、ｂ＜ｐ、ｐ＜ｂのどちらもあり得る。
また、ｐの整数倍になることもあるし、ならないこともある。
この後者に着目し、ここでは、ｂ＝ｋｐ（ｐの整数倍）となる場合を考える。
m/P−1/B＝m/P−1/kP＝(mk−1)/kP
この右辺を、1/A＋1/C に分解することを考える。
Ａ、Ｐを一次式とする。
P＝an−b, A＝cn−d, e＝gcd(c,d), c'＝c/e, d'＝d/e とすると、
(mk−1)/kP−1/A＝{(mk−1)A−kP}/kPA
(分子)＝(km−1)(cn−d)−k(an−b)
＝{(mk−1)c−ka}n+{kb−(mk−1)d}
定数項 kb−(mk−1)d＝r とおく。
(分母)＝k(an−b)(cn−d)＝ke(an−b)(c'n−d')
分子のｎの係数＝０とすると、(mk−1)c−ka＝0
a＝mk−1, c＝kとする。
残った部分は、r/ke(an−b)(c'n−d')
この r/ke が約されて、分子＝１となればよい。
ずいぶんいろいろ仮定を置いて、かなり限定してしまったが、
とりあえず、この仮定の元でプログラムを書いて、恒等式を探して見よう。
プログラムは以下のとおり。
ｍ＝４〜７
P＝an−b の係数ａ≦100 の範囲で探して見る。
10 for M=4 to 7
20 for K=1 to 25:A=M*K-1:C=K
30 for D=0 to C:E=gcd(C,D)
40 for R=1 to K*E
50 if K*E@R>0 then 120 else F=K*E\R
60 W=R+A*D:if W@K>0 then 120 else B=W\K
70 if B>A then 120
80 if gcd(A,B)>1 then 120
90 print A;"n-";B;":";E;"(";C\E;"n-";D\E;"),";
100 print K;"(";A;"n-";B;"),";
110 print F;"(";C\E;"n-";D\E;")(";A;"n-";B;")"
120 next R
130 next D
140 next K
150 next M
ここでは、ｍ、ｋの範囲を限定しているが、基本的に制限はない。
実行結果は、m/p＝1/a+1/b+1/c となるような式Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃが順にｎの多項式として表示される。
そのｎに１、２、３……を代入したものが、その恒等式から生成される個別解となる。
解の方でソートをかけた結果の一覧表は次のとおり。
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