４．ａ＝ｂまたはｂ＝ｃとなる解を含むような恒等式

解の一覧表を眺めていると、ａ＝ｂまたはｂ＝ｃとなっている解が目に付く。
例えば、

4/7＝1/4＋1/4＋1/14
4/11＝1/6＋1/6＋1/33

等。これらの解は、何か恒等式があって、その個別の値とは考えられないか？

少し試行錯誤してみると、以下のことがわかる。

1/n ＋ 1/n(mn−1) ＝ m/(mn−1)
だから、1/n、1/n(mn−1)のそれぞれを２つに分けてやると、

• m/(mn−1)＝1/2n＋1/2n＋1/n(mn−1)
• m/(mn−1)＝1/n＋1/2n(mn−1)＋1/2n(mn−1)

となる。これらの式は任意のｍについて成り立つので、当然ｍ＝４、５、６、７の場合も成り立つ。
式と個々の解は以下のようになる。
（これ以降、式は大文字、個々の解は小文字で表す）。

m/(mn−1)＝1/2n＋1/2n＋1/n(mn−1)

< tr>< th>ａ

ｍ	Ｐ	Ａ	Ｂ	Ｃ	ｐ	ｂ	ｃ	ｎ
4	4n-1	2n	2n	n(4n-1)	3 7 11 19 23 31 43 47 59 67 71 79 83	2 4 6 10 12 16 22 24 30 34 36 40 42	2 4 6 10 12 16 22 24 30 34 36 40 42	3 14 33 95 138 248 473 564 885 1139 1278 1580 1743	1 2 3 5 6 8 11 12 15 17 18 20 21
5	5n-1	2n	2n	n(5n-1)	19 29 59 79 89	8 12 24 32 36	8 12 24 32 36	76 174 708 1264 1602	4 6 12 16 18
6	6n-1	2n	2n	n(6n-1)	5 11 17 23 29 41 47 53 59 71 83 89	2 4 6 8 10 14 16 18 20 24 28 30	2 4 6 8 10 14 16 18 20 24 28 30	5 22 51 92 145 287 376 477 590 852 1162 1335	1 2 3 4 5 7 8 9 10 12 14 15
7	7n-1	2n	2n	n(7n-1)	13 41 83 97	4 12 24 28	4 12 24 28	26 246 996 1358	2 6 12 14

m/(mn−1)＝1/n＋1/2n(mn−1)＋1/2n(mn−1)

ｍ	Ｐ	Ａ	Ｂ	Ｃ	ｐ	ａ	ｂ	ｃ	ｎ
4	4n-1	n	2n(4n-1)	2n(4n-1)	3 7 11 19 23 31 43 47 59 67 71 79 83	1 2 3 5 6 8 11 12 15 17 18 20 21	6 28 66 190 276 496 946 1128 1770 2278 2556 3160 3486	6 28 66 190 276 496 946 1128 1770 2278 2556 3160 3486	1 2 3 5 6 8 11 12 15 17 18 20 21
5	5n-1	n	2n(5n-1)	2n(5n-1)	19 29 59 79 89	4 6 12 16 18	152 348 1416 2528 3204	152 348 1416 2528 3204	4 6 12 16 18
6	6n-1	n	2n(6n-1)	2n(6n-1)	5 11 17 23 29 41 47 53 59 71 83 89	1 2 3 4 5 7 8 9 10 12 14 15	10 44 102 184 290 574 752 954 1180 1704 2324 2670	10 44 102 184 290 574 752 954 1180 1704 2324 2670	1 2 3 4 5 7 8 9 10 12 14 15
7	7n-1	n	2n(7n-1)	2n(7n-1)	13 41 83 97	2 6 12 14	52 492 1992 2716	52 492 1992 2716	2 6 12 14

ｍが奇数の時、

m/(mn−2)−1/n＝2/n(mn−2)

この 2/n(mn−2) を２つに分けると、恒等式

m/(mn−2)＝1/n＋1/n(mn−2)＋1/n(mn−2)

が得られる。式と個々の解は以下のようになる。

m/(mn−2)＝1/n＋1/n(mn−2)＋1/n(mn−2)

< tr>< th>ａ

ｍ	Ｐ	Ａ	Ｂ	Ｃ	ｐ	ｂ	ｃ	ｎ
5	5n-2	n	n(5n-2)	n(5n-2)	3 13 23 43 53 73 83	1 3 5 9 11 15 17	3 39 115 387 583 1095 1411	3 39 115 387 583 1095 1411	1 3 5 9 11 15 17
7	7n-2	n	n(7n-2)	n(7n-2)	5 19 47 61 89	1 3 7 9 13	5 57 329 549 1157	5 57 329 549 1157	1 3 7 9 13

ｍが奇数の時、ｂ＝(ｍ＋１)/２とおくと

m/(mn−b)−2/(2n−1)＝(2b−m)/(2n−1)(mn−b)

ここで、分子＝１となるので、恒等式

m/(mn−b)＝1/(2n−1)＋1/(2n−1)＋1/(2n−1)(mn−b)

が得られる。式と個々の解は以下のようになる。

m/(mn−b)＝1/(2n−1)＋1/(2n−1)＋1/(2n−1)(mn−b)

< tr>< th>ａ

ｍ	Ｐ	Ａ	Ｂ	Ｃ	ｐ	ｂ	ｃ	ｎ
5	5n-3	2n-1	2n-1	(2n-1)(5n-3)	7 17 37 47 67 97	3 7 15 19 27 39	3 7 15 19 27 39	21 119 555 893 1809 3783	2 4 8 10 14 20
7	7n-4	2n-1	2n-1	(2n-1)(7n-4)	3 17 31 59 73	3 5 9 17 21	3 5 9 17 21	3 85 279 1003 1533	1 3 5 9 11

さて、ａ＝ｂとかｂ＝ｃというような特殊な解ではなく、
もっと一般の解について、それを含むような恒等式、というのはないのか？

結論を云うと、ある。
しかも任意の解について、そのような恒等式を、ｍ、ｐ、ａ、ｂ、ｃから構成できる。
以下、その方法について説明する。