６章　sqrt(24n＋1)＝素数？

初項１、項差24の等差数列 ａ_n＝24n＋1（ｎ＝０、１、２、……）について考えてみる。

1、25、49、73、97、121、145、169、193、217、……

Excel でこのような等差数列をセルに入れるときは、

編集(E)―フィル(I)―連続データの作成(S)

を使う。

まず、Ａ１にタイトルとして「24n＋1」を入れる。
次に、Ａ２に１を入れて、Ａ２からＡ12ぐらいまで、マウスの左ボタンを押したまま引っ張る。
そして、編集(E)―フィル(I)―連続データの作成(S)、を選ぶと、
増分(S)を指定するところがあるので、そこに24を入れると、
初項１、項差24の等差数列が生成される。
ｎの値も知りたいので、Ｂ１にｎ、Ｂ２に計算式 =(A2-1)/24 を入れて、Ｂ３からＢ12までコピーする。

結果は以下のようになる。

	A	B
1	24n+1	n
2	1	0
3	25	1
4	49	2
5	73	3
6	97	4
7	121	5
8	145	6
9	169	7
10	193	8
11	217	9
12	241	10

Ａ列を見ると２乗数が多く含まれているのが、目に付く。

Ａ列の平方根をとってみよう。
Ｃ１をタイトルとしてｐとし、Ｃ２に計算式 =SQRT(A2) として、Ｃ３からＣ12までコピーする。

結果は、以下のとおり。

	A	B	C
1	24n+1	n	p
2	1	0	1
3	25	1	5
4	49	2	7
5	73	3	8.544004
6	97	4	9.848858
7	121	5	11
8	145	6	12.04159
9	169	7	13
10	193	8	13.89244
11	217	9	14.73092
12	241	10	15.52417

１を除き、整数値になるときは必ず素数になっている。
では、このまま続けていくと、５以上の素数が全て現れるのか？

計算式をひたすらコピーして、整数になるものを捜してもよいが、ここは、マクロを組んでみる。
挿入(I)――マクロ(M)――モジュール(M) を選ぶとマクロ作成用のシートが挿入される。
そこに、以下のマクロを入力する。

Sub Record1() Worksheets("Sheet1").Activate Cells(1, 1).Value = "24n+1" Cells(1, 2).Value = "n" Cells(1, 3).Value = "p" i = 1 For n = 0 To 50 m = 24 * n + 1 p = Int(Sqr(m)) If m - p ^ 2 > 0 Then GoTo L1 i = i + 1 If i > 11 Then GoTo L2 Cells(i, 1).Value = m Cells(i, 2).Value = n Cells(i, 3).Value = p L1: Next n L2: End Sub

ｎはどのぐらいまで調べればいいかわからないが、適当に設定しておき、
10個見つかったところで打ち切るようにする。

最初の10個の整数値は以下のとおり。

	A	B	C
1	24n+1	n	p
2	1	0	1
3	25	1	5
4	49	2	7
5	121	5	11
6	169	7	13
7	289	12	17
8	361	15	19
9	529	22	23
10	625	26	25
11	841	35	29

素数でない数(25)もあるが、とりあえず、５以上の素数はもれなく出現しているようである。
さらに続けていった場合も、５以上の全ての素数が現れるのか？
答えは、ｙｅｓである。それは、以下のように証明できる。

５以上の素数は 6n±1 の形で表すことができる。
２乗すると 36n²±12n＋１＝12n(3n±１)＋１ 。
n(3n±１) は、ｎが奇数、偶数いずれの場合も２の倍数となるから、
素数の２乗−１は、必ず24で割り切れる。
上の等差数列は、その構成方法より、24で割って１余るような数を全て含んでいるから、
ルートをとったとき、５以上の素数を全て含むことになる。
（証明終わり）

Ｂ列を眺めていると、以下のようなことに気付く。

• ｎの１の位が、３、４、８、９となることはない。
• ｎの１の位が、１、６で、かつ、ｐが整数値をとるとき、ｐは５で割り切れる。

これは、以下のように証明できる。

mod 5 で考える。
ｎ＝5k＋ａ、ａ＝０、１、２、３、４のとき、24n＋１＝120k＋24ａ＋１。
ａのそれぞれの値に対する 24n＋１の１の位の値は、下表のとおり。

ａ	24n＋１の１の位
0	1
1	5
2	9
3	3
4	7

よって、ｎ＝5k＋３、４のときは、24n＋１は２乗数には成り得ず（こちらを参照のこと）
また、ｎ＝5k＋１のときは、５で割り切れることがわかる。
（証明終わり）

ここまでの議論を予備知識として、 こちら（ 実験数学概論（大阪大、山本芳彦教授の講義録））
を眺めて見て欲しい。

もっとすごい世界が展開されている。