５章　ｎ角数（Polygonal Numbers）

○を以下のように並べる。

このように、○を三角形に並べていったときの○の個数を、三角数と呼ぶ。
●は、追加されたもの（i.e 追加の仕方）を示す。

今度は、○を以下のように並べる。

このように、○を四角形に並べていったときの○の個数を、四角数と呼ぶ。

そうすると、次は五角数ということになるが、
正多角形で平面を充填するのは、正三角形、正四角形、正六角形のみなので、
五角数を定義するときは、後の定義のことも考えて、○の並べ方を考えなければならない。

解としては、上のように、直前の配列のまわりに、囲むように並べる、という方法を取る。
具体的には、以下のとおり。

ここから先は、図形的に考えるよりも、純粋に代数的に定義した方が考えやすい。
ｒ番目のｎ角数を得るための増分値は以下のようになっている。

この増分の階差より、ｒ番目のｎ角数、ｐ(ｎ，ｒ)を、

ｐ(ｎ，ｒ)＝	ｒ --- ２	・ ((ｒ−１)ｎ−２(ｒ−２))

特に、階差を ｓ（＝ｎ−２）とおくと、

ｐ(ｎ，ｒ)＝	ｒ --- ２	・ (ｒｓ−ｓ＋２)

となる。この式より０番目のｎ角数は０と定義する。

ｒ番目のｎ角数を求める。計算式は以下の通り。

５行目をコピーする。
(任意)のところに何か数字を入れることにより、ｎ角数が求められる。
例えば、３を代入すると、以下のようになる。

さて、ｎ角数については、

任意の自然数は、ｎ個のｎ角数の和で表すことができる。

という定理が成り立つ。特に四角数（すなわち平方数）については、

任意の自然数は、４個の平方数の和で表すことができる。

という定理となる。この定理の成立基盤として、以下の恒等式が成り立つ。

(x12＋x22＋x32＋x42) (y12＋y22＋y32＋y42)＝ (z12＋z22＋z32＋z42)

ただし、

z1＝ x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4
z2＝ x1y2−x2y1＋x3y4−x4y3
z3＝ x1y3−x2y4−x3y1＋x4y2
z4＝ x1y4＋x2y3−x3y2−x4y1


恒等式について云うなら、もっとすごいのがある。

(x12＋x22＋x32＋x42＋x52＋x62＋x72＋x82) (y12＋y22＋y32＋y42＋y52＋y62＋y72＋y82)
＝(z12＋z22＋z32＋z42＋z52＋z62＋z72＋z82)

ただし、

z1＝ x1y1−x2y2−x3y3−x4y4−x5y5−x6y6−x7y7−x8y8
z2＝ x1y2＋x2y1＋x3y4−x4y3＋x5y6−x6y5−x7y8＋x8y7
z3＝ x1y3−x2y4＋x3y1＋x4y2＋x5y7＋x6y8−x7y5−x8y6
z4＝ x1y4＋x2y3−x3y2＋x4y1＋x5y8−x6y7＋x7y6−x8y5
z5＝ x1y5−x2y6−x3y7−x4y8＋x5y1＋x6y2＋x7y3＋x8y4
z6＝ x1y6＋x2y5−x3y8＋x4y7−x5y2＋x6y1−x7y4＋x8y3
z7＝ x1y7＋x2y8＋x3y5−x4y6−x5y3＋x6y4＋x7y1−x8y2
z8＝ x1y8−x2y7＋x3y6＋x4y5−x5y4−x6y3＋x7y2＋x8y1


ここまで来ると、すご過ぎて、なんだか悪いものを見ているようだ。