問題４−１−１ 解答
（１） \(E\) と \(M\) の関係式を用いて， \begin{eqnarray} \log_{10}E_1 & = & 4.8 + 1.5 M_1, \label{eq01} \\ \log_{10}E_2 & = & 4.8 + 1.5 M_2. \label{eq02} \end{eqnarray} 式 (2) から式 (1) を引いて， \begin{eqnarray*} \log_{10}E_2 - \log_{10}E_1 & = & 1.5(M_2 - M_1), \\ \log_{10}\frac{E_2}{E_1} & = & 1.5(M_2 - M_1), \\ \frac{E_2}{E_1} & = & 10^{1.5(M_2 - M_1)}. \end{eqnarray*} \(M_2-M_1=2\) とすると，\(E_2/E_1 = 10^3 = 1000\)．
（２） \(E_2/E_1\) の式に数値を代入して計算すると， \[ E_2/E_1 = 10^{1.5(9.1 - 6.9)} = 10^{1.5\times 2.2} = 10^{3.3} = 1995.3 \] よって，約２千倍となります．但し，気象庁によるマグニチュードの \(M_W\) = 9.0 と \(M_J\) = 7.3 で計算すると約 355 倍です．
（３） \(S=l^2\) ですので，\(l^3=S^{\frac{3}{2}}\)．これを用いて， \[ E = 62.2\times S^{\frac{3}{2}}. \] これを，エネルギー \(E\) とマグニチュード \(M\) の関係式 \(\log_{10}E = 4.8 + 1.5 M\) に代入して， \begin{eqnarray*} \log_{10}62.2 + \log_{10}S^{\frac{3}{2}} & = & 4.8 + 1.5M, \\ \log_{10}S & = & \frac{4.8 - 1.79379}{1.5} + M, \\ & = & 2.004 + M. \end{eqnarray*} この式から余震域の１辺の長さ \(l\) は， \[ l = \sqrt{S} = \sqrt{10^{2+M}}, \] となり，\(M\) = 7 と \(M\) = 9 について計算すると，それぞれ約 32 km と約 320 km となります．
問題４−１−２ 解答
（１） グーテンベルグ-リヒターの式で \(b\) = 1 として， \begin{eqnarray*} \log_{10}n_1 & = & a - M_1, \\ \log_{10}n_2 & = & a - M_2. \end{eqnarray*} これらの式から， \begin{eqnarray*} \log_{10}\frac{n_2}{n_1} & = & M_1 - M_2, \\ \frac{n_2}{n_1} & = & 10^{M_1 - M_2}. \end{eqnarray*}
\(M\) = 8.0 の南海地震については添字１で表わすとして， \[ n_1 = 100/120 = 0.833 \] 即ち， 120 年に１度の南海地震の発生回数は 100 年に 0.833 回ですので，この \(n_1\) を用いて上式から他の地震の \(n_2\) を計算します．
\(M\) = 7.3 の兵庫県南部地震については， \[ n_2 = 0.833\times 10^{8.0-7.3} = 4.175 \] よって， 100/4.175 = 23.95 より兵庫県南部地震の規模の地震は 24 年に１回発生することになります．
\(M\) = 9.0 の東北地方太平洋沖地震では， \[ n_2 = 0.833\times 10^{8.0-9.0} = 0.0833 \] よって， 100/0.0833 = 1200.5 より東北地方太平洋沖地震は千２百年に１回しか発生しない巨大地震であったことになります．
（２） \(\log_{10}n(M) = a - bM\) を指数関数で表わして， \[ n(M) = 10^{a-bM} = e^{(a-bM)\ln 10}. \] この式を \(M\) = \(M\) から \(M\) = \(\infty\) まで積分します． \begin{eqnarray*} N(M) & = & \int_M^\infty n(M)dM = \int_M^\infty e^{(a-bM)\ln 10}dM = \frac{1}{-b\ln 10}\left[e^{(a-bM)\ln 10}\right]_M^\infty, \\ & = & \frac{e^{(a-bM)\ln 10}}{b\ln 10}. \end{eqnarray*} よって， \[ \log_{10}N(M) = (a-bM)\ln 10\log_{10}e - \log_{10}(b\ln 10). \] となりますが， \(\ln 10\log_{10}e=1\) ですので， \[ \log_{10}N(M) = a - \log_{10}(b\ln 10) - bM. \] 最後に， \(A = a - \log_{10}(b\ln 10)\) とおいて，積算発生回数についての次式を得ます． \[ \log_{10}N(M) = A - bM. \]
\(\log_{10}n(M)\) も \(\log_{10}N(M)\) も \(M\) に対して同じ傾き \(b\) となるのは \(n(M)\) が指数分布に従うからです． \(M\) を指数分布に従う確率変数 \(X\) に模して考えると， \(n(M)\) は確率密度関数 \(f(x)\) に， \(N(M)\) は，累積分布関数を \(F(x)\) として， \(1-F(x)\) に相当する量と言えます．