問題１-３-５ 解説

（１） 角運動量保存則とケプラーの第３法則から， \begin{eqnarray} I\omega + mr^2\omega_L & = & I\omega' + mr'^2\omega_L', \label{eq01} \\ r^3\omega_L^2 & = & r'^3\omega_L'^2. \label{eq02} \end{eqnarray} 式 (2) より， \begin{equation} \omega_L' = \left(\frac{r}{r'}\right)^{3\over2}\omega_L. \label{eq03} \end{equation} これを式 (1) に代入し \(\omega'\) を表わす式として変形します． \begin{eqnarray} \omega' & = & \omega + \frac{mr^2\omega_L}{I} - \frac{mr'^2\omega_L}{I}\left(\frac{r}{r'}\right)^{3\over2}, \nonumber \\ & = & \omega + \frac{mr^2\omega_L}{I}\left(1 - \left(\frac{r'}{r}\right)^2\left(\frac{r}{r'}\right)^{3\over2}\right), \nonumber \\ & = & \omega + \frac{mr^2\omega_L}{I}\left(1 - \left(\frac{r'}{r}\right)^{1\over2}\right). \label{eq04} \end{eqnarray}

（２） 定数などを代入して計算します． \begin{eqnarray*} \omega' & = & 7.29\times 10^{-5} + \frac{7.35\times 10^{22}\times(3.84\times 10^8)^2\times 2.66\times 10^{-6}}{9.69\times 10^{37}}\left(1-\sqrt{\frac{2\times 10^7}{3.84\times 10^8}}\right), \\ & = & 3.03\times 10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}. \end{eqnarray*} \(\omega_L'\) は式 (3) から， \[ \omega_L' = \left(\frac{3.84\times 10^8}{2\times 10^7}\right)^{3\over2}\times 2.66\times 10^{-6} = 2.24\times 10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}. \] よって，月生成初期の地球の自転周期は， \[ 2\pi/3.03\times 10^{-4} = 2.074\times 10^4\ \mathrm{s} \approx 5.8\ \mathrm{h}, \] 月の公転周期は， \[ 2\pi/2.24\times 10^{-4} = 2.805\times 10^4\ \mathrm{s} \approx 7.8\ \mathrm{h}. \]

（３） 式 (1) と (2) で \(\omega_L'=\omega'\) として， \begin{eqnarray} I\omega + mr^2\omega_L & = & I\omega' + mr'^2\omega', \label{eq05} \\ r^3\omega_L^2 & = & r'^3\omega'^2. \label{eq06} \end{eqnarray} \(r'/r\) についての式を導きたいので式 (6) より \begin{equation} \omega' = \left(\frac{r'}{r}\right)^{-{3\over2}}\omega_L, \label{eq07} \end{equation} と表わして，式 (5) から \(\omega'\) を消去します． \begin{eqnarray*} I\omega + mr^2\omega_L & = & I\left(\frac{r'}{r}\right)^{-{3\over2}}\omega_L + mr'^2\left(\frac{r'}{r}\right)^{-{3\over2}}\omega_L, \\ & = & I\left(\frac{r'}{r}\right)^{-{3\over2}}\omega_L + mr^2\left(\frac{r'}{r}\right)^2\left(\frac{r'}{r}\right)^{-{3\over2}}\omega_L, \\ & = & I\left(\frac{r'}{r}\right)^{-{3\over2}}\omega_L + mr^2\left(\frac{r'}{r}\right)^{1\over2}\omega_L. \end{eqnarray*} 両辺を \(mr^2\omega_L\) で割り \((r'/r)^{1/2}\) を表わす次式となります． \begin{equation} \left(\frac{r'}{r}\right)^{1\over2} = 1 + \frac{I\omega}{mr^2\omega_L} - \frac{I}{mr^2}\left(\frac{r'}{r}\right)^{-{3\over2}}. \label{eq08} \end{equation}

（４） 定数などを代入し有効数字５桁で表わすと，式 (8) は次のようになります． \begin{equation} \left(\frac{r'}{r}\right)^{1\over2} = 1.2450 - 8.9408\times 10^{-3}\left(\frac{r'}{r}\right)^{-{3\over2}}. \label{eq09} \end{equation} 逐次近似法による繰返し計算（iteration）の結果を３通りの初期値について表に示します．

よって，月公転軌道の半径は現在の約 1.5 倍となり，皆既日食は見られなくなります． \[ r' = 3.84\times 10^8\times 1.5384 = 5.91\times 10^8\ \mathrm{m} \approx 59\ \mathrm{万km}. \] 等しくなった地球の自転と月の公転の角速度は式 (7) より， \[ \omega' = \omega_L' = 1.5384^{-3/2}\times 2.66\times 10^{-6} = 1.394\times 10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}. \] 周期は， \[ 2\pi/\omega' = 4.507\times 10^6\ \mathrm{s} \approx 52\ \mathrm{d}. \]

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