問題１−１−１ 解答
\(T^2 = k a^3\) (\(k\)は比例定数) ならば， \[ \log_{10}T = {\scriptsize \frac{1}{2}}\log_{10}k + {\scriptsize \frac{3}{2}}\log_{10}a. \] よって，両対数グラフに \(a\) と \(T\) を直接プロットすれば，傾きが 3/2 の直線になり，結果は下図の通りです．グラフの傾きは定規や分度器などで直接確認できます．
問題１−１−２ 解答
\(a_n = a_0 p^n\) ならば，次式が成り立ちます． \[ \log_{10}a_n = \log_{10}a_0 + n\log_{10}p. \] 従って，片対数グラフに \(n\) を横軸，\(a_n\) を縦軸に取りデータをプロットすれば，直線に並ぶはずです．結果は下図の通りで，左がケレスを除外した場合，右が含めた場合です．
ケレスを含めた右のグラフの方がデータの直線性は良いように見えますが，左の図も１本の直線で近似して比較するべきでしょう．
問題１−１−３ 解答
座標軸を下図のように取ります．
（１） 条件の \(s+t=2a\)， \[ \sqrt{(x+f)^2 + y^2} + \sqrt{(x-f)^2 + y^2} = 2a. \] を２回２乗して変形すると楕円の方程式となります．まず，左辺の第２項を右辺に移行してから２乗するのがコツです．
（２） \(s+t\) は一定の 2\(a\) ですので，その平均 \(\overline{s+t}\) も一定値の 2\(a\) です．一方， \(s\) と \(t\) は全く反対称に変化しますので，その平均値は等しく， \(\overline{s+t}\) の 1/2 となります．よって， \[ \overline{s} = \overline{t} = (\overline{s+t})/2 = a. \] 別解としては，\(s\) を \(x\) の式で表すよう上記の式を変形すると， \[ s = \frac{f}{a}x + a. \] となります．よって， \(s\) は \(x\) の１次式で変化し，その平均は最小値と最大値の平均に等しくなるので， \[ \overline{s} = \frac{(a-f) + (a+f)}{2} = a. \]