\(\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) について
指数関数 \(e^{-x^2}\) は正規分布（ガウス分布）の確率密度関数を表わすのに使用されますが，その不定積分 \(\int e^{-x^2}dx\) は初等関数では表わせません．しかし，ゼロから無限大まで積分すると \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) になることは次のようにして導きます (数学的には厳密ではないかも知れません)．
次の２重積分を考えます． \[ \int_0^\infty e^{-x^2}dx \int_0^\infty e^{-y^2}dy = \int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(x^2 + y^2)}dx dy. \] 次のように \(r\) と \(\theta\) を導入し，変数を変換します． \[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dxdy = r dr d\theta \] 積分範囲は， \[ x: 0 \rightarrow \infty, \quad y: 0 \rightarrow \infty, \] から， \[ r: 0 \rightarrow \infty, \quad \theta: 0 \rightarrow \pi/2, \] になるにで，２重積分は以下のように求まります． \[ \int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^\infty r e^{-r^2}dr = \frac{\pi}{2}\left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^\infty = \frac{\pi}{4} \] よって， \[ \int_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \]