問題５−５−１ 解答
（１） \(\alpha\) = 3×10-5 1/K， \(T\) = 1673 K， \(c_p\) = 1000 J/kg K， \(g\) = 10 m/s2 を本文の式 (9) に代入して， \begin{eqnarray*} \frac{dT}{dz} & = & \frac{\alpha gT}{c_p}, \\ & = & \frac{(3\times 10^{-5})\times 10\times 1673}{1000} \\ & = & 5.019\times 10^{-4}\ \mathrm{K/m}. \end{eqnarray*} 約 0.5 °C/km となります．
（２） 本文の式 (9) を次のように書き直します． \[ \frac{1}{T}dT = \frac{\alpha g}{c_p}dz. \] これを積分し，簡単のために積分定数を \(\log C\) として変形します． \begin{eqnarray*} \log T & = & \frac{\alpha g}{c_p}z + \log C, \\ \log T - \log C & = & \frac{\alpha g}{c_p}z, \\ T & = & C e^{\alpha gz/c_p}. \end{eqnarray*} \(z\) = 0 での \(T\) が \(T_P\) ですので， \(C\) = \(T_P\)．よって， \[ T = T_P e^{\alpha gz/c_p}, \] となりますが，これを \(T_P\) について表わして， \[ T_P = T e^{-\alpha gz/c_p}. \]
深さを \(z\) = 200 km とし，他の定数は問い（１）と同じ値を用いて計算すると， \begin{eqnarray*} T_P & = & 1673\times\exp\left(-\frac{(3\times 10^{-5})\times 10\times(200\times 10^3)}{1000}\right), \\ & = & 1575.6\ \mathrm{K}. \end{eqnarray*} よって，ポテンシャル温度は 1302.6 °C，およそ 1300°C となりました．この値は典型的な海嶺に上昇してくるマントルのポテンシャル温度と考えられています．