問題３−１−１ 解答

右の地球の断面図で，円弧の距離 \(\ell\) は，ラジアンで表した角度 \(\theta\) を用いて， \[ \ell = a\theta, \] ですが， \(\theta\) については， \[ \cos\theta = \frac{a}{a+h}, \] となります．左辺を \(|\theta| \ll 1\) として近似し，右辺も変形して， \begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2}\theta^2 & \approx & 1 - \frac{h}{a+h}, \\ \theta & \approx & \sqrt{\frac{2h}{a+h}}. \end{eqnarray*} 以上より， \[ \ell = a\sqrt{\frac{2h}{a+h}}. \] 因みに，近似しない真の距離 \(\ell_0\) と直線距離 \(L\) は次のようになります． \[ \ell_0 = a \cos^{-1}\left(\frac{a}{a+h}\right), \quad L = \sqrt{h(h+2a)}. \] これらを \(a\) を 6400 km，\(h\) を 1 m，10 m，... として計算し，有効数字５桁まで取り表にまとめてみます．

全ての場合で，近似した値は真値と一致しています．直線距離も，高さが 1 km になって初めて円弧距離との差が現れます．これらのことは逆に言えば，普通の生活上の感覚からは地球が巨大であることを示唆していると考えられます．

問題３−１−２ 解答

（１） \(x=r\cos\phi\) と \(y=r\sin\phi\) を楕円の方程式， \begin{equation} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \label{eq01} \end{equation} に代入します． \begin{eqnarray*} r^2 & = & \frac{a^2b^2}{b^2\cos^2\phi + a^2\sin^2\phi}, \\ & = & \frac{a^2b^2}{a^2 - (a^2-b^2)\cos^2\phi}, \\ & = & \frac{b^2}{1 - \left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\cos^2\phi}. \end{eqnarray*} これに \(e^2=1-b^2/a^2\) を代入して， \[ r = \frac{b}{\sqrt{1-e^2\cos^2\phi}}. \]

（２） 楕円の式（１）を \(x\) で微分して， \(2b^2x+2a^2y(dy/dx)=0\) より， \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y} = -\frac{b^2}{a^2}\frac{1}{\tan\phi}. \] PQ の傾き \(\tan\psi\) と点 P での接線の傾き \(dy/dx\) は直交するので， \[ \tan\psi\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2}\frac{\tan\psi}{\tan\phi} = -1. \] よって， \begin{equation} \tan\phi = \frac{b^2}{a^2}\tan\psi. \label{eq02} \end{equation}

（３） 図から， \(r\cos\phi = N\cos\psi\)．この関係式を２乗して， \begin{eqnarray*} N^2 & = & r^2\frac{\cos^2\phi}{\cos^2\psi}, \\ & = & \frac{b^2}{1 - \left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\cos^2\phi}\times\frac{\cos^2\phi}{\cos^2\psi}, \\ & = & \frac{b^2}{\frac{1}{\cos^2\phi} - 1 + \frac{b^2}{a^2}}\times\frac{1}{\cos^2\psi}, \\ & = & \frac{b^2}{\tan^2\phi+\frac{b^2}{a^2}}\times\frac{1}{\cos^2\psi}. \end{eqnarray*} これに式（２）を２乗した \(\tan^2\phi=(b^4/a^4)\tan^2\psi\) を代入して， \begin{eqnarray*} N^2 & = & \frac{a^2}{\frac{b^2}{a^2}\tan^2\psi + 1}\times\frac{1}{\cos^2\psi}, \\ & = & \frac{a^2}{\frac{b^2}{a^2}\sin^2\psi + \cos^2\psi}, \\ & = & \frac{a^2}{1-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\sin^2\psi}. \end{eqnarray*} よって， \[ N = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2\sin^2\psi}}. \]

→ ホーム