ベクトル解析の公式とマクスウェルの方程式，他

ベクトルの内積と外積（直交座標）：

ベクトル \({\bf A}\) と \({\bf B}\) の内積 \({\bf A}\cdot{\bf B}\) はスカラーで， \begin{eqnarray*} {\bf A}\cdot{\bf B} & = & A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z, \\ & = & |{\bf A}||{\bf B}|\cos\theta. \end{eqnarray*} 但し， \(\theta\) は \({\bf A}\) と \({\bf B}\) のなす角度です．
ベクトル \({\bf A}\) と \({\bf B}\) の外積 \({\bf A}\times{\bf B}\) はベクトルで， \({\bf C}={\bf A}\times{\bf B}\) とおくと， \({\bf C}\) は \({\bf A}\) と \({\bf B}\) のなす平面に垂直で，向きは \({\bf A}\) から \({\bf B}\) へ右ねじを回すときに進む方向で，大きさは， \[ |{\bf C}| = |{\bf A}||{\bf B}|\sin\theta, \] となります． \({\bf C}\) の成分は次の通りです． \[ C_x = A_yB_z - A_zB_y, \quad C_y = A_zB_x - A_xB_z, \quad C_z = A_xB_y - A_yB_x. \]

ベクトルの３重積：

\begin{eqnarray*} &&{\bf A}\cdot({\bf B}\times{\bf C}) = {\bf B}\cdot({\bf C}\times{\bf A}) = {\bf C}\cdot({\bf A}\times{\bf B}), \\ &&{\bf A}\times({\bf B}\times{\bf C}) = ({\bf A}\cdot{\bf C}){\bf B} - ({\bf A}\cdot{\bf B}){\bf C}. \end{eqnarray*}

直交座標での勾配（grad），発散（div），回転（rot），ラプラシアン（\(\Delta\)）：

以下， \(\phi\) はスカラー， \({\bf A}\) はベクトルです．

\begin{eqnarray*} {\rm grad}\phi & = & \nabla\phi = \left(\frac{\partial\phi}{\partial x}, \frac{\partial\phi}{\partial y}, \frac{\partial\phi}{\partial z}\right), \\ {\rm div}{\bf A} & = & \nabla\cdot{\bf A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}, \\ {\rm rot}{\bf A} & = & \nabla\times{\bf A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right), \\ \Delta\phi & = & \nabla^2\phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}, \\ \Delta{\bf A} & = & \nabla^2{\bf A} = \left(\frac{\partial^2A_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2A_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2A_x}{\partial z^2}, \frac{\partial^2A_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2A_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2A_y}{\partial z^2},\right.\\ & & \qquad\qquad \left.\frac{\partial^2A_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2A_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2A_z}{\partial z^2}\right). \end{eqnarray*}

極座標 (\(r,\theta,\varphi\))での勾配（grad）とラプラシアン（\(\Delta\)）：

\begin{eqnarray*} {\rm grad}\phi & = & \nabla\phi = \left(\frac{\partial\phi}{\partial r}, \frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}, \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\phi}{\partial\varphi}\right), \\ \Delta\phi & = & \nabla^2\phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\phi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial\varphi^2}. \end{eqnarray*}

ベクトル演算子の恒等式

\begin{eqnarray*} &&\nabla\cdot(\nabla\times{\bf A}) = 0, \\ &&\nabla\times(\nabla\phi) = 0, \\ &&\nabla\cdot(\phi{\bf A}) = \phi\nabla\cdot{\bf A} + {\bf A}\nabla\phi, \\ &&\nabla\cdot({\bf A}\times{\bf B}) = {\bf B}\cdot(\nabla\times{\bf A}) - {\bf A}\cdot(\nabla\times{\bf B}), \\ &&\nabla\times(\phi{\bf A}) = \phi\nabla\times{\bf A} - {\bf A}\times\nabla\phi, \\ &&\nabla\times({\bf A}\times{\bf B}) = {\bf A}(\nabla\cdot{\bf B}) - {\bf B}(\nabla\cdot{\bf A}) + ({\bf B}\cdot\nabla){\bf A} - ({\bf A}\cdot\nabla){\bf B}, \\ &&\nabla\times(\nabla\times{\bf A}) = \nabla(\nabla\cdot{\bf A}) - \nabla^2{\bf A}. \end{eqnarray*}

マクスウェルの方程式

静止，及び時間変動する電場 \({\bf E}\)，磁束密度 \({\bf B}\)，磁場（磁界） \({\bf H}\)，電束密度 \({\bf D}\)，電流密度 \({\bf j}\)，電荷密度 \(\rho\) についての基本法則であるマクスウェル（Maxwell）の方程式は次の４つの式で表わされます． \begin{eqnarray*} \nabla\times{\bf E} & = & -\frac{\partial{\bf B}}{\partial t}, \\ \nabla\times{\bf H} & = & {\bf j} + \frac{\partial{\bf D}}{\partial t}, \\ \nabla\cdot{\bf D} & = & \rho, \\ \nabla\cdot{\bf B} & = & 0. \end{eqnarray*} さらに，媒質の誘電率 \(\varepsilon\)，透磁率 \(\mu\)，電気伝導度 \(\sigma\) を用いた次の３つの関係式があります． \begin{eqnarray*} {\bf D} & = & \varepsilon{\bf E}, \\ {\bf B} & = & \mu{\bf H}, \\ {\bf j} & = & \sigma{\bf E}. \end{eqnarray*}

変位電流を無視できる理由

本文の式 (6)， \[ \nabla\times{\bf H} = {\bf j} + \frac{\partial{\bf D}}{\partial t}, \] において，地下の電磁誘導を扱う場合には第１項の電流密度に対して第２項の変位電流が無視できることは次のようにして導きます．電場が次のように角周波数 \(\omega\) で変動しているとします． \[ {\bf E} = {\bf E_0}e^{i\omega t}. \] すると， \({\bf j}=\sigma{\bf E}\)， \({\bf D}=\varepsilon{\bf E}\) ですので，第２項の第１項に対する比は， \[ \left|\frac{\varepsilon(\partial{\bf E}/\partial t)}{\sigma{\bf E}}\right| = \left|\frac{\varepsilon\omega{\bf E_0}ie^{i\omega t}}{\sigma{\bf E_0}e^{i\omega t}}\right| = \frac{\varepsilon\omega}{\sigma} = \frac{2\pi\varepsilon}{\sigma T}, \] となります．但し，最後に角周波数を周期に変更しました．地殻やマントルの誘電率 \(\varepsilon\) と透磁率 \(\mu\) は真空の値とほとんど変わらないので，真空の値を使います．光速を \(c\) とすると， \[ \varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2, \] の関係があり， \(c\) \(\approx\) 3×10⁸ m/s， \(\mu_0\) = 4π×10^-7 H/m より， \(\varepsilon_0\) = (1/36π)×10^-9 F/m となります．この値を用いると上の比は， \[ \frac{2\pi\varepsilon_0}{\sigma T} = \frac{1}{\sigma T}\times\frac{1}{18}\times10^{-9}, \] となります．ここで，

地殻やマントルの電気伝導度は大体 0.0001 ~ 10 S/m の範囲．
観測する周期は通常 0.001 s ~ 1 yr の範囲．

とすると，比が最大になるように値をとっても， \[ \frac{10^{-9}}{0.0001\times 0.001\times 18} = 5.56\times 10^{-4}, \] となり，電流密度に対して変位電流が無視できることが分かります．

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