問題６-２-３ 解説
（１） 地心双極子のポテンシャルを問題文のように変形します． \begin{eqnarray} W & = & \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{{\bf M}\cdot{\bf r}}{r^3}, \nonumber \\ & = & \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{M_xx + M_yy + M_zz}{r^3}, \nonumber \\ & = & \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{M_x\sin\theta\cos\phi + M_y\sin\theta\sin\phi + M_z\cos\theta}{r^2}. \label{eq01} \end{eqnarray} 本文の式 (14) で表わされる地磁気ポテンシャルを \(n\) = 1 について展開します． \begin{eqnarray*} W & = & a\sum_{n=1}^1\sum_{m=0}^1\left(\frac{a}{r}\right)^{n+1}\left(g_n^m\cos m\phi + h_n^m\sin m\phi\right)P_n^m(\cos\theta), \\ & = & \frac{a^3}{r^2}\left(g_1^0P_1^0(\cos\theta) + g_1^1\cos\phi P_1^1(\cos\theta) + h_1^1\sin\phi P_1^1(\cos\theta)\right). \end{eqnarray*} この式に， \[ P_1^0(\cos\theta) = \cos\theta, \quad P_1^1(\cos\theta) = \sin\theta, \] を代入して整理すると次のようになります． \begin{equation} W = \frac{a^3}{r^2}\left(g_1^1\sin\theta\cos\phi + h_1^1\sin\theta\sin\phi + g_1^0\cos\theta\right). \label{eq02} \end{equation} 式 (1) と式 (2) を比較することで，次の磁気双極子の成分と１次のガウス係数の関係を得ます． \begin{equation} M_x = \frac{4\pi a^3}{\mu_0}g_1^1, \quad M_y = \frac{4\pi a^3}{\mu_0}h_1^1, \quad M_z = \frac{4\pi a^3}{\mu_0}g_1^0. \label{eq03} \end{equation}
（２） 式 (3) から，磁気双極子モーメント \(M\) をガウス係数で表わし，値を代入すると， \begin{eqnarray*} M & = & \sqrt{M_x^2 + M_y^2 + M_z^2}, \\ & = & \frac{4\pi a^3}{\mu_0}\sqrt{(g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 + (h_1^1)^2}, \\ & = & \frac{4\pi\times(6371\times 10^3)^3}{4\pi\times 10^{-7}}\sqrt{(-29405)^2 + (-1451)^2 + 4653^2}\times 10^{-9}, \\ & = & 7.7078\times 10^{22}\ \mathrm{A\,m^2}. \end{eqnarray*} \(M\) はおよそ 7.7×1022 A m2 となります．なお，計算結果の単位が [A m2] になることは問題６-１-１解説の補足を参照してください．
磁気双極子の＋極（N極）の方向の余緯度 \(\theta\) と経度 \(\phi\) は， \begin{eqnarray*} \theta & = & \cos^{-1}\left(\frac{M_z}{M}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{g_1^0}{\sqrt{(g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 + (h_1^1)^2}}\right), \\ & = & \cos^{-1}\left(\frac{-29405}{29806}\right) = \cos^{-1}(-0.9865) = 170.6\ \mathrm{deg.} \\ \phi & = & \tan^{-1}\left(\frac{M_y}{M_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{h_1^1}{g_1^1}\right), \\ & = & \tan^{-1}\left(\frac{4653}{-1451}\right) = \tan^{-1}(-3.2068) = -72.7\ \mathrm{deg.} \end{eqnarray*} 余緯度 \(\theta\) を緯度 \(\lambda\) に直すと， \(\lambda\) = 90 - 170.6 = -80.6，即ち 80.6°S です． \(\phi\) については， \(M_x\) < 0 で \(M_y\) > 0 の第２象限ですので， \(\phi\) = 180 - 72.7 = 107.3°E となります．以上が双極子の＋極（N極）の緯度と経度ですが，地磁気北極とは磁気双極子のー極（S極）のことですので，地球中心に対して反転させ，（緯度，経度） = （80.6°N， 72.7°W）となります．