誘導場の計算方法

誘導場の計算方法　横瀬の基本式

●　横瀬の基本式

　横瀬は，任意の図形の場を数値計算で予測するための計算式を提案，検証している¹⁾．横瀬は W.Köhler の「心理物理同型説」²⁾を念頭に，図形の周りに有る「場」のようなものが磁場に似ている（注1）ことから，実験で得られた式の関係を磁界の強さを求めるビオ・サバールの法則のアナロジを利用して，図形の場の強さが予測できる「心理的ポテンシャル場の理論方程式」を提案した^{1), 3), 4), 5)}．
　まず，単一の線分がつくる場について考える．図１(a) のように導線 ab に電流が流れて反時計周りに磁界が生ずると考える．そして， 図１(b) において，導線 ab を線分 ab に置き換えた場合，線分 ab の付近の任意の点 P における場の強さは，線分 ab 上の単位長が点 P に及ぼす影響を線分 ab について定積分したものと考える．点 P から線分 ab に下ろした足を O，PO = D，∠aPO = θ₁，∠bPO = θ₂，H を線分 ab の明瞭度とすると，点 P における場の強さ M_p は，次式で表される（k は被験者の視力などの個人差の相違を表す）。

　２値画像など背景との明度差が一定の場合などで，場の強さを考える場合は，H と k は省略できるので，上式は次のように表現できる．

　横瀬は，この式を心理的ポテンシャル場の基本公式と呼び，これを元にいろいろな図形の場の計算を行った．
　図１(c) のように２つの線分 ab，bc が点 P につくる場の強さは，点 P から線分 ab，bc にそれぞれ下ろした足を O₁，O₂，PO₁ = D₁，PO₂ = D₂，∠aPO₁ = θ₁，∠bPO₁ = θ₂，∠bPO₂ = θ₃，∠cPO₂ = θ₄ とすると，次の式で表される。

　このように２つの線分がつくる場は各線分がつくる場の重ね合わせになる．線分が複数の場合も，各線分に分け，上の式と同様に計算を行うことができる．このように，上記２つの基本式を用いることで任意の線図形の場を計算で予測することが可能になる^{1), 3), 4), 5)}。
　なお，円がつくる場の強さは別の公式で計算する．図１(d)のように半径 r の円の中心 O から距離 x の点 P における誘導場の強さは，点 P から円に引いた接線を PA，PB，円と PO の交点を C とすると，円弧 ACB からの影響で決まり，次の式で計算される^{1), 6)}．

図１　心理的ポテンシャル場の計算原理

　円の場で注意すべき点は，点 P から見えない円弧は場の形成に寄与しないことである^{1), 6)}．すなわち，点 P から見えない図形部分は誘導場の計算に入れなくてよいことになる．このような「遮蔽」が誘導場にあることを横瀬は明言していないが，円の場と同様な遮蔽が線図形でもある^{1), 3), 4), 5)}．例えば，図２(a) のように，点 P から線分 ab に下ろした垂線の足 O が線分 ab 上にない場合，まず仮想的に線分 bO の寄与から線分 aO の寄与を差し引いて場の強さを求める．点 P の場の強さは，∠bPO = θ₁，∠aPO = θ₂ とすると，次の式で表される。

　上の式が示すように，必ず点 P から対象の線分 ab が見える部分からの寄与だけを場として計算する．また， 図２(b) の場合は，３つの線分 ab，cd，ef それぞれについて計算した場の強さを加算する．この時，点 P からは３つの線分 ab，cd，ef が全て見えていることが前提になっている．以上のように，線分の場合でも必ず点 P から見えている部分だけが場に寄与する．見えない部分は，場の計算に考慮しなくて良い。以上の４つの基本公式による場の計算結果と，心理実験による場の測定結果とは一致することが報告されている^{1), 3), 4), 5), 7)}。

図２　心理的ポテンシャル場の計算における遮蔽

注1：横瀬は大脳皮質という媒質が何らかの磁気的な場を発生させていると考えていたようである^{1), 3), 4)}．

参考文献

1) 横瀬善正著「形の心理学」名古屋大学出版(1986)

2)　W. ケーラー著, 相良守次訳. 心理学における力学説. 岩波書店, 1951

3) 横瀬善正. 図形認識と機械的読み取り. 人間工学, Vol. 2, No. 3, pp. 10-16, 1966.

4) 横瀬善正. 視知覚と場. 現代数学, Vol. 3, No. 4, pp. 16-22, 1970.

5) Zensho Yokose. The law of the field in visual form perception (i). Japan Psychological Research, Vol. 1, pp. 55-64, 1954.

6) 横瀬善正, 後藤倬男. 円および円弧図形の場の力の大きさの測定. 名大文研論集XLV, 哲学, No. 15, pp. 35-44, 1967.

7）伊東三四. 視知覚における形の場の理論の実験的分析　－横瀬のポテンシャル場の理論式の検討－. 心理学研究, Vol. 29, No. 3, pp. 11-19, 1958.

本ページの原典
長石道博: "視覚の誘導場によるパターン認知の研究", 豊橋技術科学大学博士論文乙第142号 (2000) 　[学位論文]