＃６　永遠に愛し合う数

放送で紹介された内容

220 と 284は永遠に愛し合う数 220 の約数は、1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220。 220 以外のものを足すと合計は 284 になる 284 の約数は、1, 2, 4, 71, 142, 284。 284 以外のものを足すと合計は 220 になる

数学的なバックグラウンド

『博士の愛した数式』ですっかりおなじみになった友愛数の話題です。
英語では amicable number といい、訳語としては、友愛数、親和数、という用語が使われます。
詳しい解説はこちらの方に書いたので、 ここでは、友愛数と関連する数についてのサンプルを紹介します。

友愛数の定義は「約数の和から自分自身を引いたものが、もう一方の数と等しくなる」なので、
自然数 n の約数の和をσ(n)と表すとき、友愛数 (m, n) の定義を式で書くと、

σ(m)−m＝n
σ(n)−n＝m

となります。この式は、

σ(m)＝σ(n)＝m＋n

と変形することができます（後で他の数を定義する時に使用します）。

10万以下の友愛数の組は、以下の13通りです。

(220, 284)
(1184, 1210)
(2620, 2924)
(5020, 5564)
(6232, 6368)
(10744, 10856)
(12285, 14595)
(17296, 18416)
(63020, 76084)
(66928, 66992)
(67095, 71145)
(69615, 87633)
(79750, 88730)

10¹⁰ 以下の友愛数はこちら。1427 組あります。

これまでに見つかっている友愛数は、(偶数, 偶数)、または、(奇数, 奇数) のペアのみで、
(偶数, 奇数) となるペアは見つかっていません。
(偶数, 奇数) となるペアがあるのかないのか、は未解決問題です。

「約数の和から自分自身を引いたもの」が友愛数の定義ですが、
どんな自然数でも、１と自分自身は約数となるので、
自分自身だけでなく、１も引いたものが互いに等しくなるような数の組を考えてみます。
このような数の組を準友愛数 (quasi-amicable number) といいます。
式で表すと、

σ(m)−m−1＝n
σ(n)−n−1＝m

または、

σ(m)＝σ(n)＝m＋n＋1

となります。

10万以下の準友愛数の組は、以下の9通りです。

(48, 75)
(140, 195)
(1050, 1925)
(1575, 1648)
(2024, 2295)
(5775, 6128)
(8892, 16587)
(9504, 20735)
(62744, 75495)

10¹⁰ 以下の準友愛数はこちら。404 組あります。

準友愛数の定義式、

σ(m)＝σ(n)＝m＋n＋1

を少し変えて、

σ(m)＝σ(n)＝m＋n−1

としたもの、或いは、

σ(m)−m＋1＝n
σ(n)−n＋1＝m

を満たすような数の組を、拡大友愛数（augumented amicable number) と呼びます。
10万以下の拡大友愛数の組は、以下の4通りです。

(6160, 11697)
(12220, 16005)
(23500, 28917)
(68908, 76245)

10¹⁰ 以下の拡大友愛数はこちら。420 組あります。