９章　友愛数(amicable numbers)
(B4 Amicable numbers, B5 Quasi-amicable or betrothed numbers)

概要

自然数nの約数の和をσ(n)とする。
異なる２つの自然数m、nについて、各々の約数の和より自分自身を引いたものが、 互いに他方と等しくなる時、すなわち、

σ(m)-m=n
σ(n)-n=m

が成り立つ時、これら２数を友愛数（または親和数）と呼ぶ。
例えば、220 と 284 は、この条件を満たす。
上記条件は、

σ(m)=σ(n)=m+n

と同値である。

約数の和から自分自身だけでなく、自明な約数である１も引いた値が、 互いに他方と等しくなる時、すなわち、

σ(m)-m-1=n
σ(n)-n-1=m

が成り立つ時、これら２数を準友愛数（または婚約数）と呼ぶ。
例えば、48 と 75 は、この条件を満たす。
上記条件は、

σ(m)=σ(n)=m+n+1

と同値である。

上記条件を、

σ(m)=σ(n)=m+n-１

と変更した場合、この条件を満たす２数を拡大友愛数と呼ぶ。
例えば、6160 と 11697 は、この条件を満たす。

ここでは、２数のうち小さい方が10¹⁰以下の 友愛数、準友愛数、拡大友愛数、の組を全て求める。

この問題の意味するところを理解するために、以下の解を求めてみて下さい。

• 問１　与えられたnに対して、σ(n)を求めるためのアルゴリズム
• 問２　(220, 284) の他の、友愛数を１組
• 問３　(48, 75) の他の、準友愛数を１組
• 問４　(6160, 11697) の他の、拡大友愛数を１組

目次

1. 約数の和
2. 友愛数（amicable number）
3. 準友愛数（quasi-amicable number）
4. 拡大友愛数（augumented amicable number）
5. まとめ

参考文献

[1] Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (Third Edition), Springer, 2005.
[2] H.J.J.te Riele, Computaion of All the Amicable Pairs Below 10¹⁰, Vol.47, Num.175, July 1986, 361-368
[3] Herman J. J. te Riele, On Generating New Amicable Pairs from Given Amicable Pairs, Mathematics of Computations Vol.42, Num. 165, Jan. 1984, 219-223