p、q、rを形式ベキ級数で、p/q=rかつp、qが既知のとき、rの係数を決定する方法を考える。
まず、p、q、rは以下の形をしているものとする。
p=p0+p1t+p2t2+……+piti+……
q=q0+q1t+q2t2+……+qiti+……
r=r0+r1t+r2t2+……+riti+……
p/q=rより、
p=qr=(q0+q1t+q2t2+……+qiti+……) (r0+r1t+r2t2+……+riti+……)
この式を展開する。tの次数でまとめると、
t0:p0=q0r0
t1:p1=q0r1+q1r0
t2:p2=q0r2+q1r1+q2r0
……
ti:pi=q0ri+q1ri-1+……+
qjri-j+……+qir0
よって、順に、
r0=p0/q0
r1=(p1−q1r0)/q0
r2=(p2−(q1r1+q2r0))/q0
……
ri=(pi−(q1ri-1+……+qjri-j+……+qir0))/q0
により、riを決定することができる。
Bernoulli数 Bn、Euler数 Enは、それぞれ以下の式で定義される。
Bn : | z ------- ez−1 |
= | ∞ Σ n=1 |
Bn ---- n! |
zn |
---|---|---|---|---|---|
| |||||
En : | sec z | = | ∞ Σ n=1 |
En ---- n! |
zn |
次頁以降で、これらの具体的な係数を決定する。
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