6.Bernoulli数、Euler数

形式ベキ級数の係数決定

p、q、rを形式ベキ級数で、p/q=rかつp、qが既知のとき、rの係数を決定する方法を考える。
まず、p、q、rは以下の形をしているものとする。

p=p0+p1t+p2t2+……+piti+……
q=q0+q1t+q2t2+……+qiti+……
r=r0+r1t+r2t2+……+riti+……

p/q=rより、

p=qr=(q0+q1t+q2t2+……+qiti+……) (r0+r1t+r2t2+……+riti+……)

この式を展開する。tの次数でまとめると、

t0:p0=q0r0
t1:p1=q0r1+q1r0
t2:p2=q0r2+q1r1+q2r0
 ……
ti:pi=q0ri+q1ri-1+……+ qjri-j+……+qir0

よって、順に、

r0=p0/q0
r1=(p1−q1r0)/q0
r2=(p2−(q1r1+q2r0))/q0
 ……
ri=(pi−(q1ri-1+……+qjri-j+……+qir0))/q0

により、riを決定することができる。


Bernoulli数 Bn、Euler数 Enは、それぞれ以下の式で定義される。

Bn :  z
-------
ez−1

Σ
n=1
Bn
----
n!
zn
 
 
En :  sec z
Σ
n=1
En
----
n!
zn

次頁以降で、これらの具体的な係数を決定する。


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三島 久典