ある程度の人数が集まっているとき、その中に同じ誕生日の人がいる確率はどのぐらいか。
1年は365日なので、半分の183人以上いないとそのようなことは起こらないような気がするが、
確率を計算すると、実は、23人いれば1/2以上の確率でそのような組が存在することがわかる。
この23人という人数が183人に比べてひじょうに小さいため、この事実を Birthday Paradox と呼ぶ。
(これは paradox という名称で呼ばれているが、ただ単に、直感との差が大きいため
paradox と呼ばれているだけであり、数学的な矛盾はどこにもない。つまり本当の paradox ではない。)
確率を計算してみよう。
まず、2人の時を考える。
1人の誕生日を1つ特定したとき、もう1人が異なる誕生日である確率は、
364/365
となる。よって、2人が同じ誕生日になる確率は、
1−364/365
となる。
次に、3人の時。
3人とも誕生日が異なる確率は、
(364/365)×(363/365)
となる。よって、誰かが同じ誕生日になる確率は、
1−(364/365)×(363/365)
となる。
この要領で進めていくと、n人が集まっているとき、同じ誕生日の人がいる確率は、
1−(364/365)×(363/365)×……×((365−(n−1))/365)
となる。
このnの値を順に増やしていって、1/2を越えるようなnの値を探してみる。
Excelで以下のように計算式を入力する。
A | B | C | |
---|---|---|---|
1 | n | w | p |
2 | 1 | 1 | =1-B2 |
3 | 2 | =B2*((365(A3-1))/365) | =1-B3 |
4 | 3 | =B3*((365(A4-1))/365) | =1-B4 |
1行目、nは人数、wは誕生日が誰も一致しない確率、pは誰かが一致する確率(=1−w)を表す。
A列には、2行目から順に1、2、3、……を入れる。
(「フィル」で入れてもいいし、A2を1として、以下、=A2+1とし、コピーしてもよい。)
B列2行目は1、3行目は上の計算式 =B2*((365(A3-1))/365) を入れる。4行目以降は、式をコピー。
C列2行目は、=1-B2 を入れて、3行目以降は、式をコピーする。
できるだけ正確な値が知りたいので、書式の数値で、小数以下の桁数を16桁ぐらいとっておく。
実行結果は以下のとおり。
A | B | C | |
---|---|---|---|
1 | n | w | p |
2 | 1 | 1.0000000000000000 | 0.0000000000000000 |
3 | 2 | 0.9972602739726030 | 0.0027397260273973 |
4 | 3 | 0.9917958341152190 | 0.0082041658847813 |
5 | 4 | 0.9836440875334500 | 0.0163559124665502 |
6 | 5 | 0.9728644263002070 | 0.0271355736997935 |
22 | 21 | 0.5563116648347940 | 0.4436883351652060 |
23 | 22 | 0.5243046923374500 | 0.4756953076625500 |
24 | 23 | 0.4927027656760140 | 0.5072972343239860 |
25 | 24 | 0.4616557420854710 | 0.5383442579145290 |
31 | 30 | 0.2936837572807310 | 0.7063162427192690 |
41 | 40 | 0.1087681901820510 | 0.8912318098179490 |
51 | 50 | 0.0296264204220116 | 0.9703735795779880 |
61 | 60 | 0.0058773391346521 | 0.9941226608653480 |
71 | 70 | 0.0008404240348429 | 0.9991595759651570 |
81 | 80 | 0.0000856680506865 | 0.9999143319493130 |
91 | 90 | 0.0000061516438764 | 0.9999938483561240 |
101 | 100 | 0.0000003072489279 | 0.9999996927510720 |
確かに23人のところで、確率が0.5以上になっていることがわかる。
参考情報として、10人刻みで、100人までの値も計算してみた。
ちなみに、このぐらいの大きさの数値であれば ubasic で分数の値として計算できる。
上の表に出現する値を正確に分数表示すると、以下のようになる。
n=30以降は、50桁刻みで表記している。
n | p |
---|---|
22 |
97865360313360836565793977098771303111159551118377 / 205731187037028356508017006644446979625396728515625 |
23 |
38093904702297390785243708291056390518886454060947061 / 75091883268515350125426207425223147563269805908203125 |
30 |
91552927692475156884636642045816013304174636711198 78183963440529188469 / 12962030625262519859085092767427552277425499342208 403503894805908203125 |
40 |
19393328682731619082071437723120714139262612692853 031533269435559474912532712558219274716441893 / 21760139695522172283205169322668538168792903146260 712847284222971593416002579033374786376953125 |
50 |
70895598655795343653393554633751734054364536853006 66030303258890566778889679390456389542412687952202 890922699306118801 / 73060108135495153103580932770596512463422141744975 08156711617142094873581852472030624097938198246993 124485015869140625 |
60 |
12192953573036843590953684350638706669315413886890 88218414765897755795332888639967649602430476861161 4413760215131544641829497589435584982801281 / 12265039368907773421787252829503068681305912216018 30164237733130051579718802316314785567834989475716 7311671158955732607864774763584136962890625 |
70 |
41145508422690779081535442919714171550632628398090 40706545752722261107291272159089041128505047735163 15603103582415592247905066158528020608717570350739 6360070511438717 / 41180117182928960030963910835533629826902370804431 24884648137219193022265504603293083741942396295959 77138025124548594797134258530535433351360552478581 6669464111328125 |
80 |
94692623086283648735815846559440997641151746778303 96682135048225059921982808850440153205365729852507 34364717690235354303982610969329259765427024506529 35043194007348956007326009251480620613 / 94700735913727955336015167501627908205005401376236 59656092502628422841737462285559224218173786711853 46578559209014378034540639010765236750651138069104 21789808651737985201179981231689453125 |
90 |
15897883793262197442444324495178134089581243211532 42247691768088631074339527305052945021242940356853 49038152576672034728664006553964885724133871968633 22357517185056717082475784117108440608021375401409 4036412332021 / 15897981591983304830056619721583645864252295890958 12321952540427483475932042056657945458987508258781 27529202138310471171270060928906575909854298405986 09326760679960346370632323642624328385863918811082 8399658203125 |
100 |
53377777607432470619144107299608249266300106111554 99529718502307834283552418139335568398570099915648 22779540230670258173902931679154284814273172812940 05748904585164713564798362658715186607820070127933 188182051888741821390928088160431649 / 53377794007702450568072527844838785280003217995807 90339491552504920193803891813062940168569816082488 04842770847757874189129362899854432632318183706262 88184432032367025371089393636388624437717612992992 943787839976721443235874176025390625 |
『枕草子*砂の本』 | 『無限に連なる格子』 |
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