Appendix 1. Birthday Paradox


ある程度の人数が集まっているとき、その中に同じ誕生日の人がいる確率はどのぐらいか。

1年は365日なので、半分の183人以上いないとそのようなことは起こらないような気がするが、
確率を計算すると、実は、23人いれば1/2以上の確率でそのような組が存在することがわかる。
この23人という人数が183人に比べてひじょうに小さいため、この事実を Birthday Paradox と呼ぶ。

(これは paradox という名称で呼ばれているが、ただ単に、直感との差が大きいため
  paradox と呼ばれているだけであり、数学的な矛盾はどこにもない。つまり本当の paradox ではない。)


確率を計算してみよう。

まず、2人の時を考える。
1人の誕生日を1つ特定したとき、もう1人が異なる誕生日である確率は、

364/365

となる。よって、2人が同じ誕生日になる確率は、

1−364/365

となる。


次に、3人の時。
3人とも誕生日が異なる確率は、

(364/365)×(363/365)

となる。よって、誰かが同じ誕生日になる確率は、

1−(364/365)×(363/365)

となる。

この要領で進めていくと、n人が集まっているとき、同じ誕生日の人がいる確率は、

1−(364/365)×(363/365)×……×((365−(n−1))/365)

となる。

このnの値を順に増やしていって、1/2を越えるようなnの値を探してみる。


Excelで以下のように計算式を入力する。

 ABC
1nwp
211=1-B2
32=B2*((365(A3-1))/365)=1-B3
43=B3*((365(A4-1))/365)=1-B4

1行目、nは人数、wは誕生日が誰も一致しない確率、pは誰かが一致する確率(=1−w)を表す。
A列には、2行目から順に1、2、3、……を入れる。
(「フィル」で入れてもいいし、A2を1として、以下、=A2+1とし、コピーしてもよい。)
B列2行目は1、3行目は上の計算式 =B2*((365(A3-1))/365) を入れる。4行目以降は、式をコピー。
C列2行目は、=1-B2 を入れて、3行目以降は、式をコピーする。

できるだけ正確な値が知りたいので、書式の数値で、小数以下の桁数を16桁ぐらいとっておく。
実行結果は以下のとおり。

 ABC
1nwp
21 1.0000000000000000 0.0000000000000000
32 0.9972602739726030 0.0027397260273973
43 0.9917958341152190 0.0082041658847813
54 0.9836440875334500 0.0163559124665502
65 0.9728644263002070 0.0271355736997935
 
2221 0.5563116648347940 0.4436883351652060
2322 0.5243046923374500 0.4756953076625500
2423 0.4927027656760140 0.5072972343239860
2524 0.4616557420854710 0.5383442579145290
 
3130 0.2936837572807310 0.7063162427192690
4140 0.1087681901820510 0.8912318098179490
5150 0.0296264204220116 0.9703735795779880
6160 0.0058773391346521 0.9941226608653480
7170 0.0008404240348429 0.9991595759651570
8180 0.0000856680506865 0.9999143319493130
9190 0.0000061516438764 0.9999938483561240
101100 0.0000003072489279 0.9999996927510720

確かに23人のところで、確率が0.5以上になっていることがわかる。
参考情報として、10人刻みで、100人までの値も計算してみた。


ちなみに、このぐらいの大きさの数値であれば ubasic で分数の値として計算できる。
上の表に出現する値を正確に分数表示すると、以下のようになる。
n=30以降は、50桁刻みで表記している。

np
22 97865360313360836565793977098771303111159551118377
/
205731187037028356508017006644446979625396728515625
23 38093904702297390785243708291056390518886454060947061
/
75091883268515350125426207425223147563269805908203125
30 91552927692475156884636642045816013304174636711198
78183963440529188469
/
12962030625262519859085092767427552277425499342208
403503894805908203125
40 19393328682731619082071437723120714139262612692853
031533269435559474912532712558219274716441893
/
21760139695522172283205169322668538168792903146260
712847284222971593416002579033374786376953125
50 70895598655795343653393554633751734054364536853006
66030303258890566778889679390456389542412687952202
890922699306118801
/
73060108135495153103580932770596512463422141744975
08156711617142094873581852472030624097938198246993
124485015869140625
60 12192953573036843590953684350638706669315413886890
88218414765897755795332888639967649602430476861161
4413760215131544641829497589435584982801281
/
12265039368907773421787252829503068681305912216018
30164237733130051579718802316314785567834989475716
7311671158955732607864774763584136962890625
70 41145508422690779081535442919714171550632628398090
40706545752722261107291272159089041128505047735163
15603103582415592247905066158528020608717570350739
6360070511438717
/
41180117182928960030963910835533629826902370804431
24884648137219193022265504603293083741942396295959
77138025124548594797134258530535433351360552478581
6669464111328125
80 94692623086283648735815846559440997641151746778303
96682135048225059921982808850440153205365729852507
34364717690235354303982610969329259765427024506529
35043194007348956007326009251480620613
/
94700735913727955336015167501627908205005401376236
59656092502628422841737462285559224218173786711853
46578559209014378034540639010765236750651138069104
21789808651737985201179981231689453125
90 15897883793262197442444324495178134089581243211532
42247691768088631074339527305052945021242940356853
49038152576672034728664006553964885724133871968633
22357517185056717082475784117108440608021375401409
4036412332021
/
15897981591983304830056619721583645864252295890958
12321952540427483475932042056657945458987508258781
27529202138310471171270060928906575909854298405986
09326760679960346370632323642624328385863918811082
8399658203125
100 53377777607432470619144107299608249266300106111554
99529718502307834283552418139335568398570099915648
22779540230670258173902931679154284814273172812940
05748904585164713564798362658715186607820070127933
188182051888741821390928088160431649
/
53377794007702450568072527844838785280003217995807
90339491552504920193803891813062940168569816082488
04842770847757874189129362899854432632318183706262
88184432032367025371089393636388624437717612992992
943787839976721443235874176025390625


『枕草子*砂の本』 『無限に連なる格子』  

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三島 久典