９章　もう一つの無限乗積　Π(1＋xⁿ)

７章の無限乗積　Π(1−xⁿ)に対し、符号を変えたもの、

∞
Π(1＋xⁿ)＝(1＋x)(1＋x²)(1＋x³)・……
n=1

の展開式、及び、その逆数はどのような値になるか。また、何か意味を持つ式になるのか。

マクロは、以下のようになる。初期値と、足すときの符号を変えるだけ。

(1＋x) (1＋x²) (1＋x³)・……と、その逆数。

Sub Record4() Worksheets("Sheet4").Activate Dim a(10), w(10), q(10) k = 10 Cells(1, 1).Value = "n" Cells(1, 2).Value = "a(n)" Cells(1, 3).Value = "q(n)" a(0) = 1: a(1) = 1 For i = 2 To k For j = i To k: w(j) = a(j) + a(j - i): Next j For j = 2 To k: a(j) = w(j): Next j Next i q(0) = 1 For i = 1 To k For j = 0 To i - 1: q(i) = q(i) - p(j) * q(i - j): Next j Next i For i = 0 To k Cells(i + 2, 1).Value = i Cells(i + 2, 2).Value = a(i) Cells(i + 2, 3).Value = q(i) Next i End Sub

実行結果は以下のとおり。

	A	B	C
1	n	a(n)	q(n)
2	0	1	1
3	1	1	-1
4	2	1	0
5	3	2	-1
6	4	2	1
7	5	3	-1
8	6	4	1
9	7	5	-1
10	8	6	2
11	9	8	-2
12	10	10	2

さて、この値に何か意味はあるのか。

まず展開式の係数 a(n) は意味がある。
ｎの分割において、奇数のみでの分割を考える。そのときの個数が、実は a(n) となっている。
更に、互いに異なる数での分解というのを考えると、これの個数もやはり a(n) に等しくなる。
つまり、任意のｎにおいて、

（奇数のみでの分割の個数）＝（互いに異なる数での分解の個数）

が成り立つ。これについては、オイラーによる証明がある。

q(n) の方については、まったく見当もつかない。