３章　分割数（partition number）

自然数を１以上の自然数の和で表すことを考える。ただし、順序は問わない。
例えば、ｎ＝５について、

• １個に分ける：５　の１通り
• ２個に分ける：１＋４、２＋３　の２通り
• ３個に分ける：１＋１＋３、１＋２＋２　の２通り
• ４個に分ける：１＋１＋１＋２　の１通り
• ５個に分ける：１＋１＋１＋１＋１　の１通り

より、５の分割数は７となる。

自然数ｎの分割数を p(n) で表す。
また、上のように、自然数ｎをｒ個に分けた時の分け方の個数を、p(n,r) で表す。

上より明らかに、

p(n) ＝	r Σ i=1	p(n,i)

である。

p(n,r) には、以下の関係式が成り立つ。

• p(n,1)＝１
• p(n,n)＝１
• p(n,r)＝p(n-r,r)＋p(n-1,r-1)
  ただし、ｎ＜ｒのとき、p(n,r)＝０と定義する。

これらの関係式より、任意のｎについて p(n) を計算することができる。

この関係式をExcelの計算式で表してみる。
オプション指定で参照形式をＡ１ではなくＲ１Ｃ１にしておく（前頁もその方がよかった）。

１行目、R1C3から、ｒの値を順に書き込んでいく。
３列目、R2C2から、ｎの値を順に書き込んでいく。

まず、１番目の条件より、３列目には１を入れる。
また、２番目の条件より、ｎ＝ｒのところ、すなわち、R3C4、R4C5、R5C6、……、に１を入れる。
１列目には、p(n,r) の和を計算するため、計算式 =SUM(RC[2]:RC[7]) を定義しておく。
和の２項目はもっと大きな値、例えば =SUM(RC[2]:RC[100]) ぐらいにしておいてもよい。
どこまで計算したいか、による。

肝心の漸化式については、

• ４列目：R4C4に計算式 R[-2]C+R[-1]C[-1] を定義。５行目以下はこの式をコピーする。
• ５列目：R5C5に計算式 R[-3]C+R[-1]C[-1] を定義。６行目以下はこの式をコピーする。
• ６列目：R6C6に計算式 R[-4]C+R[-1]C[-1] を定義。７行目以下はこの式をコピーする。
• ……

とする。

p(20) まで計算した結果は以下のとおり。

さて、この１列目を眺めて、何か関係式を見つけることができるか？

試しに mod(m)を計算してみる。
計算式は、以下のとおり。

１列目、２列目は、p(n) を計算した時の表から、「編集」の「形式を選択して貼り付け」で
「値」を貼り付ける。
R2C3に計算式 =MOD(RC1,R1C) を代入して、全領域にコピーする。

mod 11 まで計算すると、以下のようになった。

さて、この表を眺めて、あなたは、

• p(5n＋4)≡0 (mod 5)
• p(7n＋5)≡0 (mod 7)
• p(11n＋6)≡0 (mod 11)

という関係式を見つけることができるか。

かつて、それを見つけた数学者がいた。
インドの天才数学者、シュリーニヴァーサ・ラマヌジャン
（Srinivasa Ramanujan : 1887〜1920）
である。