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§４．ペットボトルロケットの力学

4.1　ロケットの運動方程式

ロケットの推力飛行の運動を決定する方程式は次のように表される。⁴⁾

m dv／dt =F－R－ m g sinθ

vdθ／dt = －g cosθ

dm／dt＝－β

dx／dt＝v cosθ

dy／dt＝v sinθ

ここで、

m：ロケットの質量（水の質量を含む）

F：推力　 R：空気抵抗力

β：単位時間当たりの水の噴出量

g：重力加速度、

θ：ロケットの軌道角

v：ロケットの速度、

x , y：ロケットの座標

である。

4.2　水の噴出による推力

　ペットボトルロケットの推力には、水の噴出によるものと、水がなくなった後に起きる空気の噴出によるものとがある。

　まず、水の噴出によって得られる推力を考える。水（密度ρ）を、断面積A の口からロケットに対し速さ u で噴出するとき、微小時間 dt 間に噴出する水の質量dmは、

dm＝ρ A u・dt -------(1)

となる。dmがロケットからuの速さで後方に噴射されたことで、ロケットの受けた力積F・dtは

F・dt ＝　dm・u -------(2)

となり、これに前式を代入し整理すれば、ロケットの推力Fの式、

F＝ρA u² -------(3)

が得られる⁶⁾。

ここでタンク内の断面積A₀,流速u₀、

噴射口でのそれをA、 uとすると、

流体力学の基礎式であるベルヌーイの式および連続の式より、

(1/2)・ρu²＋P_a ＝(1/2)・ρu₀²＋ρg h＋P₀ -------(4) u・A＝u₀・A₀ -------(5)

がなりたつ。ここでP_aは大気圧、P₀は圧力タンク内の圧力である。gは重力加速度、hは噴射口からタンク内の水面までの高さである。この２式から、となる⁷⁾。
これを推力Ｆの式に代入すれば推力はとなる。近似的には、F＝２A（P₀- P_a）としてもよい。
圧力タンク内の圧力P₀は水の噴出に伴い急激に減少するが、この変化は断熱変化とみなし計算すればよい。

4.3空気の噴出による推力

　水の噴出が終わった時点で、圧力タンク内にはまだ圧縮空気が残っている。この空気が噴出することにより、ロケットは推力を得てさらに加速されることになる。
　空気の圧力、密度がP₀、ρ₀であるタンク内から、圧力P_aの外気に流出する場合を考える。噴出口で気体の圧力、密度がそれぞれP₁、ρ₁とすれば、噴出口での流出速度u₁は、圧縮性流体の式より、

γは空気の比熱比でγ=1.4を代入し整理すれば、

と表される⁸⁾。

　ここで、噴出口での圧力P₁は外気圧P_aと等しいとは限らない。噴出する気体の流速u₁が音速を超えていないときは、噴出口圧力P₁は外気圧P_aにほぼ等しいと考えてよい。
　しかし、内外の圧力差が大きくなるとともに、流速が増しても、流速は音速の壁を乗り越えることができないので、噴出口圧力P₁は外気圧P_aまで下がらず、