● (EISEI.23) 人工衛星の飛行速度について (1994年 1月10日)
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　今、衛星の移動速度をＶとすると、Ｖ2＝(ｄｘ/ｄｔ)2＋(ｄｙ/ｄｔ)2 で、
　ここで、ｘ＝ｒ×cosφ、ｙ＝ｒ×sinφ の２つの式を時間ｔで微分(積の微分法
　と合成関数の微分法) をして上式に代入すると、次の式のようになります。
　
　　　Ｖ2＝{(ｄｒ/ｄｔ)×cosφ−ｒ×sinφ×(ｄφ/ｄｔ)}2＋
                          {(ｄｒ/ｄｔ)×sinφ＋ｒ×cosφ×(ｄφ/ｄｔ)}2
　　　　　＝...＝(ｄｒ/ｄｔ)2＋(ｒ×(ｄφ/ｄｔ))2

　ところで、本編(21)で調べたように地球と衛星との距離をｒ、真近点離角をφ、
　離心近点離角をτ、とすると次の関係式が得られていました。

　　　　ｒ×sinφ＝a×root(1−e2)×sinτ、　ｒ×cosφ＝a(cosτ−e)

　この式を、同様に各々、時間ｔで微分をすると次の２つの式が得られます。

　　(ｄｒ/ｄｔ)sinφ＋ｒ×cosφ(ｄφ/ｄｔ)＝a×root(1−e2)×cosτ(ｄτ/ｄｔ)
　　(ｄｒ/ｄｔ)cosφ−ｒ×sinφ(ｄφ/ｄｔ)＝−a×sinτ(ｄτ/ｄｔ)

　この２つの式を、さらに辺々二乗して加えると次のようになります。

　(ｄｒ/ｄｔ)2＋(ｒ×(ｄφ/ｄｔ))2＝a2×(1−e2)×(cosτ)2×(ｄτ/ｄｔ)2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋a2×(sinτ)2×(ｄτ/ｄｔ)2

　要するに、Ｖ2＝a2×{1−e2×(cosτ)2}×(ｄτ/ｄｔ)2　です。

　ここで、本編(22)で調べたことから、(1−e×cosτ)×(ｄτ/ｄｔ)＝2π／Ｐ で、
　この右辺をｎ「平均運動 Mean Motion」とおくと、ｄτ/ｄｔ＝ｎ／(1−e×cosτ)
　となり、また本編(21)で調べたことから、ｒ＝a(1−e×cosτ) なので、上記 Ｖ2
　の式に代入してさらに式変形していくと次のようになります。

　　　　　　Ｖ2＝a2×ｎ2×{(1＋e×cosτ)／(1−e×cosτ)}
　　　　　　　　＝a2×ｎ2×{2／(1−e×cosτ)−1}
　　　　　　　　＝a2×ｎ2×{2a／ｒ−1}
　　　　　　　　＝a3×ｎ2×{2／ｒ−1／a}
　　　　　　　　＝4π2×(a3／Ｐ2)×{2／ｒ−1／a}

　ケプラーの第３法則により、（a3／Ｐ2）は一定値となることがわかりますが、
　ニュートンの万有引力の法則によって計算すると、上記の　4π2×（a3／Ｐ2）
　の項が、Ｇ×(Ｍ＋ｍ)となることが知られています。ここで、Ｇは引力（単位は
　ダイン）の定数で、その値は Ｇ＝6.6732×10(-8) [ｃｇｓ系] で与えられます。
　Ｍは地球の質量で、 Ｍ＝5.9732×1027[g] です。 さらに、ｍ を衛星の質量と
　みなし、無視できます。

　一般に、　《 Ｖ2＝Ｇ(Ｍ＋ｍ)×{2／ｒ−1／a} 》　となります。

　では、地球の表面すれすれに回る人工衛星(ｍ≒0)の速度Ｖ'を求めてみましょう。
　ｒ＝a＝6371[km]＝6.371×108[cm] と考えて、《上式》より求まります。

　　　　　　Ｖ'2＝ＧＭ／a＝6.6732×10(-8)×5.9732×1027×10(-8)／6.371
　　　　　　　　　　　　　＝6.2565×1011

　　　　　　よって、Ｖ'＝2.5012×3.1622×105≒7.91×105[cm/s]＝7.91[km/s]


　次に、ＦＯ-２０のような地表表面からｈ[km]の上空を飛ぶ円軌道の人工衛星の
　速度Ｖfを求めてみましょう。ｒ＝a＋ｈ であるから、《上式》より、

　　　　　　Ｖf2＝ＧＭ×{2／(a＋ｈ)−1／(a＋ｈ)}＝ＧＭ／(a＋ｈ)
　　　　　　　　 ＝(ＧＭ／a)×(a／(a＋ｈ))＝Ｖ'2×(1＋(ｈ／a))(-1)

　よって、　Ｖf＝7.91×(1＋(ｈ／a))(-1/2)[km/s] となります。

　今、a＝6371[km] で ｈ＝1100[km] とすると、Ｖf≒7.3[km/s] が得られます。
　これが、ＦＯ-２０のおおよその飛行速度です。

　次回は、衛星の軌道に基づく「ＬＯＮ／ＬＡＴ座標系」について解説します。


　　　　　　　　　　参考文献：天文学通論 （鈴木敬信著 地人書館）

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