MAの変化による AO-13の飛行速度について


● (EISEI.24) MA の変化による AO-13 の飛行速度について (1994年 1月16日)
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 今回の話題は、『MAの変化によるAO-13の飛行速度について』 です。

 本編(22)で紹介したケプラーの方程式、【τ−e×sinτ=MA】 の解について気に
 なっていましたので、今回、本編(20)〜(23)の手順に則って、MAをまず与えて
 τの近似解を求め、さらにφからrまで求めて、その応用としてAO-13の飛行
 速度を詳細に求めてみました。

 いわゆるMAを与えてτを求める解法には、ラグランジュ級数やフーリエ級数を
 利用する方法から今回のようなニュートン法による方法まで、それこそケプラー
 の時代から幾百という興味ある解法が考えられていますが、ここでは有名なW3IWI
 標準軌道計算プログラムの本質をなす逐次近似法を用いて、まず市販表計算ソフト
 の「LOTUS-123 r2.4J」に計算をさせ、それを応用してAO-13の飛行速度がMA
 によって、どのように変化するかを調べてみました。まず、記号を解釈します。


     MA ... 本編(22)で解説したとおり.(0〜255)
     M=MA×2π/256 ... ラジアンに変換.
     τo=M+e×sinM+0.5×e2×sin2M ... 初期値

        なお、離心率 e=0.7209935 は、JAMSAT Newsletter#156
        に記載の最新軌道要素によりました.

     Mo=τo−e×sinτo  とし、さらに τ=τo+Δτ と 
     MA=Mo+ΔM  とおいて、【上式】に代入すると、

        (τo+Δτ)−e×sin(τo+Δτ)=Mo+ΔM
     よって、
        (τo+Δτ)−e×(sinτo×cosΔτ+cosτo×sinΔτ)
                =τo−e×sinτo+ΔM  となり、
     Δτを無限小とすると、
        cosΔτ≒1,  sinΔτ≒Δτ  としてよいから、結局、

        Δτ=ΔM/(1−e×cosτo)  となり、ΔM=MA−Mo から、
        Δτ=(MA-τo+e×sinτo)/(1−e×cosτo)   となります。

     次に、τ1=τo+Δτ ... 第1近似値 として、
     M1=τ1−e×sinτ1,  Δτ'=(MA−M1)/(1−e×cosτ1)  とおき、
     以下、同様の近似計算を繰り返します。

     次の計算例では、Δτ" の段階で小数点以下第3位まで 0(ゼロ) が
     続きましたので、第3近似値の τ3 を真値τとみなしています。

     なお、本編(21)の《(a)》式の中の軌道長半径の a を求めるため、
     上記 JAMSAT NL から、n=2.09721276(回/日) なので、周期Pを

        P=24[h]/n=11.44376[h]=4.11975×104[s] とし、

     本編(23)の中の式、
        4π2×(a3/P2)=G(M+m) を使って換算し、

     AO-13の飛行速度 V は、次式から求めました。

        V2=G(M+m)×{2/r−1/a}、(衛星質量 m≒0)



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                                             τo+Δτ              τ1+Δτ'
             MA      M    τo     Mo    Δτ   =τ1     M1   Δτ'   =τ2   *
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(近地点通過)  0      0      0      0       0      0      0       0      0
(1h経過)   22   0.54  1.140  0.485   0.079  1.219  0.542  -0.003  1.216
(2h経過)   44   1.08  1.932  1.258  -0.142  1.790  1.086  -0.005  1.785
(3h経過)   66   1.62  2.315  1.785  -0.111  2.204  1.623  -0.002  2.202
(4h経過)   88   2.16  2.519  2.099   0.038  2.557  2.159   0.001  2.558
(5h経過)  110   2.70  2.807  2.570   0.077  2.884  2.700       0  2.884
(遠地点)    128   3.14  3.142  3.142       0  3.142  3.142       0  3.142
(6h経過)  132   3.24  3.220  3.276  -0.021  3.199  3.240       0  3.199
(7h経過)  154   3.78  3.599  3.917  -0.083  3.516  3.780       0  3.516
(8h経過)  176   4.32  3.837  4.299   0.014  3.851  4.321  -0.001  3.850
(9h経過)  198   4.86  4.071  4.649   0.147  4.218  4.853   0.005  4.223
(10h経過)  220   5.40  4.588  5.303   0.089  4.677  5.398   0.002  4.679
(11h経過)  242   5.94  5.533  6.025  -0.180  5.353  5.931   0.016  5.369
(一周11.4h)255   6.26  6.229  6.268  -0.032  6.197  6.259       0  6.197


*           τ2+Δτ"       r()TAN()
   M2  Δτ"   =τ3  TAN(τ3/2)         φ      r             V [km/s]
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    0      0      0      0       0      0   7193.1 Hp=822.1  9.77 (近地点通過)
  0.5      0  1.216  0.696   1.729  2.093  19331.2           5.08 (1h経過)
  1.1      0  1.785  1.241   3.082  2.514  29729.4           3.37 (2h経過)
  1.6      0  2.202  1.970   4.893  2.738  36740.8           2.50 (3h経過)
  2.2 -0.001  2.557  3.323   8.253  2.901  41295.3           1.96 (4h経過)
  2.7      0  2.884  7.721  19.176  3.037  43751.1           1.66 (5h経過)
  3.1      0  3.142   /      /    3.142  44368.9 Ha=37998  1.58 (遠地点通過)
  3.2      0  3.199 34.829 -86.501  3.119  44339.7           1.59 (6h経過)
  3.8      0  3.516 -5.279 -13.111 -2.989  43075.5           1.75 (7h経過)
  4.3  0.001  3.851 -2.700  -6.706 -2.846  39897.4           2.13 (8h経過)
  4.9  0.001  4.224 -1.664  -4.133 -2.667  34512.2           2.76 (9h経過)
  5.4      0  4.679 -1.034  -2.568 -2.399  26404.4           3.84 (10h経過)
  5.9      0  5.369 -0.492  -1.222 -1.771  14451.3           6.30 (11h経過)
  6.3      0  6.197 -0.043  -0.107 -0.217   7264.4           9.71 (一周11.4h)
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 上記の結果は、ケプラーの第2法則から感覚的にすぐ得られることなのですが、
 今回、実際に衛星AO-13の飛行速度を厳密に計算してみて、そのことが良く
 理解できました。


               参考文献:天体力学講義
                    堀 源一郎著 東京大学出版会


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