● (EISEI.24) MA の変化による AO-13 の飛行速度について (1994年 1月16日) ---------------------------------------------------------------------- 今回の話題は、『MAの変化によるAO-13の飛行速度について』 です。 本編(22)で紹介したケプラーの方程式、【τ−e×sinτ=MA】 の解について気に なっていましたので、今回、本編(20)〜(23)の手順に則って、MAをまず与えて τの近似解を求め、さらにφからrまで求めて、その応用としてAO-13の飛行 速度を詳細に求めてみました。 いわゆるMAを与えてτを求める解法には、ラグランジュ級数やフーリエ級数を 利用する方法から今回のようなニュートン法による方法まで、それこそケプラー の時代から幾百という興味ある解法が考えられていますが、ここでは有名なW3IWI 標準軌道計算プログラムの本質をなす逐次近似法を用いて、まず市販表計算ソフト の「LOTUS-123 r2.4J」に計算をさせ、それを応用してAO-13の飛行速度がMA によって、どのように変化するかを調べてみました。まず、記号を解釈します。 MA ... 本編(22)で解説したとおり.(0〜255) M=MA×2π/256 ... ラジアンに変換. τo=M+e×sinM+0.5×e2×sin2M ... 初期値 なお、離心率 e=0.7209935 は、JAMSAT Newsletter#156 に記載の最新軌道要素によりました. Mo=τo−e×sinτo とし、さらに τ=τo+Δτ と MA=Mo+ΔM とおいて、【上式】に代入すると、 (τo+Δτ)−e×sin(τo+Δτ)=Mo+ΔM よって、 (τo+Δτ)−e×(sinτo×cosΔτ+cosτo×sinΔτ) =τo−e×sinτo+ΔM となり、 Δτを無限小とすると、 cosΔτ≒1, sinΔτ≒Δτ としてよいから、結局、 Δτ=ΔM/(1−e×cosτo) となり、ΔM=MA−Mo から、 Δτ=(MA-τo+e×sinτo)/(1−e×cosτo) となります。 次に、τ1=τo+Δτ ... 第1近似値 として、 M1=τ1−e×sinτ1, Δτ'=(MA−M1)/(1−e×cosτ1) とおき、 以下、同様の近似計算を繰り返します。 次の計算例では、Δτ" の段階で小数点以下第3位まで 0(ゼロ) が 続きましたので、第3近似値の τ3 を真値τとみなしています。 なお、本編(21)の《(a)》式の中の軌道長半径の a を求めるため、 上記 JAMSAT NL から、n=2.09721276(回/日) なので、周期Pを P=24[h]/n=11.44376[h]=4.11975×104[s] とし、 本編(23)の中の式、 4π2×(a3/P2)=G(M+m) を使って換算し、 AO-13の飛行速度 V は、次式から求めました。 V2=G(M+m)×{2/r−1/a}、(衛星質量 m≒0) ============================================================================= τo+Δτ τ1+Δτ' MA M τo Mo Δτ =τ1 M1 Δτ' =τ2 * ----------------------------------------------------------------------------- (近地点通過) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1h経過) 22 0.54 1.140 0.485 0.079 1.219 0.542 -0.003 1.216 (2h経過) 44 1.08 1.932 1.258 -0.142 1.790 1.086 -0.005 1.785 (3h経過) 66 1.62 2.315 1.785 -0.111 2.204 1.623 -0.002 2.202 (4h経過) 88 2.16 2.519 2.099 0.038 2.557 2.159 0.001 2.558 (5h経過) 110 2.70 2.807 2.570 0.077 2.884 2.700 0 2.884 (遠地点) 128 3.14 3.142 3.142 0 3.142 3.142 0 3.142 (6h経過) 132 3.24 3.220 3.276 -0.021 3.199 3.240 0 3.199 (7h経過) 154 3.78 3.599 3.917 -0.083 3.516 3.780 0 3.516 (8h経過) 176 4.32 3.837 4.299 0.014 3.851 4.321 -0.001 3.850 (9h経過) 198 4.86 4.071 4.649 0.147 4.218 4.853 0.005 4.223 (10h経過) 220 5.40 4.588 5.303 0.089 4.677 5.398 0.002 4.679 (11h経過) 242 5.94 5.533 6.025 -0.180 5.353 5.931 0.016 5.369 (一周11.4h)255 6.26 6.229 6.268 -0.032 6.197 6.259 0 6.197 * τ2+Δτ" r()TAN() M2 Δτ" =τ3 TAN(τ3/2) φ r V [km/s] ------------------------------------------------------------------------------ 0 0 0 0 0 0 7193.1 Hp=822.1 9.77 (近地点通過) 0.5 0 1.216 0.696 1.729 2.093 19331.2 5.08 (1h経過) 1.1 0 1.785 1.241 3.082 2.514 29729.4 3.37 (2h経過) 1.6 0 2.202 1.970 4.893 2.738 36740.8 2.50 (3h経過) 2.2 -0.001 2.557 3.323 8.253 2.901 41295.3 1.96 (4h経過) 2.7 0 2.884 7.721 19.176 3.037 43751.1 1.66 (5h経過) 3.1 0 3.142 / / 3.142 44368.9 Ha=37998 1.58 (遠地点通過) 3.2 0 3.199 34.829 -86.501 3.119 44339.7 1.59 (6h経過) 3.8 0 3.516 -5.279 -13.111 -2.989 43075.5 1.75 (7h経過) 4.3 0.001 3.851 -2.700 -6.706 -2.846 39897.4 2.13 (8h経過) 4.9 0.001 4.224 -1.664 -4.133 -2.667 34512.2 2.76 (9h経過) 5.4 0 4.679 -1.034 -2.568 -2.399 26404.4 3.84 (10h経過) 5.9 0 5.369 -0.492 -1.222 -1.771 14451.3 6.30 (11h経過) 6.3 0 6.197 -0.043 -0.107 -0.217 7264.4 9.71 (一周11.4h) ============================================================================== 上記の結果は、ケプラーの第2法則から感覚的にすぐ得られることなのですが、 今回、実際に衛星AO-13の飛行速度を厳密に計算してみて、そのことが良く 理解できました。 参考文献:天体力学講義 堀 源一郎著 東京大学出版会
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