ボールの衝突運動（１）

ボールの衝突運動シミュレーション 1999/02/25(初版)

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　このホームページで公開しているグラフィックス・クラスライブラリ GLIBW32 に添付してあるサンプルソースにある key6.cpp はカラーボールの衝突運動のアニメーション・プログラムです。ソースのコメントにあるようにボールの衝突の扱いは手抜き計算です（まったく非現実的なボール）。サンプルファイルは実装関数の機能確認のためのもので、できるだけ小さいプログラムにしたいためにそのようにしました。　ところが、きちんとプログラムを書いてみると、なかなかおもしろいボールの振る舞いを見ることができます。　ここで取り扱うのは、四角形の領域内に幾つかの自由なボールを走らせ、壁やボール同士の衝突を考えます。衝突はすべて完全弾性衝突とします。つまり無重力空間内でのボールの理想的な衝突現象を（まじめに）考えます。　以下では予備知識として高校の１，２年で習う程度の物理の基本的な概念と、平面の代数・幾何の計算知識を仮定します。正確に理解するためには、紙と鉛筆を使って実際に図形を描いて計算してみることをお薦めします（少し面倒ですが内容はシンプルです）。　３つのステップで話を進めます。まず、現象についての物理的概念を整理し、次にそれを純粋な平面幾何の問題に焼き直します。最後はプログラムの実装で、ボールの運動についてのクラスの設計を行います。

衝突現象 　まずは、ボールが壁にぶつかる場合を考えましょう。衝突が完全弾性衝突だと下図のようにボールは跳ね返ります。
ボールと壁の衝突完全弾性衝突では、衝突の前後でボールの持つエネルギーは変化しません。従って、跳ね返る速さＶは衝突前と同じです。速度ベクトルを壁に対して水平方向と垂直方向とに分けて考えると、水平成分は変化しなくて、垂直成分は反転します。従って、図の中の黒丸で示すように入射角度と反射角度が等しくなります。この図のような衝突では、角度θ（横軸のｘ軸から測る）でボールが角度０（ゼロ）の壁に衝突すると、跳ね返るボールの角度は、　　　　　　２×０－θ＝－θ, となります。いろんな場合の図形を描いてみると分かりますが、一般に、角度φの壁に対してボールが角度θでぶつかると、　　　　　２φ－θ, の角度で跳ね返ります。　次に、ボール同士の衝突を考えます。今度は、壁とは違って衝突し合う２つのボールの動きを同時に追っかけなければならないので、複雑なように見えます。　しかし、すぐ後で分かるように、２つのボールの間の衝突にはとても簡単で見通しを良くする性質があります。 [注] 　　煩いことをいうと、上の表現は正しくありません。完全弾性衝突とは、壁に垂直な方向の速度成分の比（反発係数）が１ということであって、水平成分とは無関係なものです。衝突の前後で、速度の水平成分がどのように変化するかは、ボールと壁の接触がなめらかである（滑る）か粗である（擦る）かといった性質によって決まるものです。粗であれば、衝突で擦りあってエネルギーを失います。ここでは、接触がなめらかであることを暗黙に前提しています。